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O gerente de um supermercado observou que o preço por quilo de uma fruta sazonal segue ciclos anuais. Os dados mostram preço máximo de \mathrm{R} \ 15,00 \mathrm{em} janeiro e mínimo deí\mathrm{R} $5,00 \mathrm{em}$ julho.
O modelo P(t)=A \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi \cdot t}{12}\right)+B, onde t é o mês (sendo t=0 para janeiro), foi ajustado para os dados. Com as constantes A e B do modelo ajustado, o preço do quilograma da fruta no mês de março é:
(A) 12,5 ;
(B) 11,5 ;
(C) 10,5 ;
(D) 9,5 ;
(E) 8,5 .

Passo 1

O enunciado pede o preço por quilo da fruta no mês de março, usando o modelo
P(t)=A\cdot\cos\!\left(\frac{2\pi t}{12}\right)+B,
onde t é o mês com t=0 para janeiro. Informações dadas:
  • Preço máximo:P(0)=R$15{,}00\ (janeiro,t=0);\\
  • Preço mínimo:P(6)=R$5{,}00\ (julho,t=6).
]
Queremos encontrar P no mês de março. Lembre-se: janeiro é t=0, então março corresponde a t=2.

Passo 2

Explicando a forma do modelo e como usar os dados (aulas curtas aqui, sem medo!):
P(t)=A\cos\!\left(\frac{2\pi t}{12}\right)+B.
  • A é a amplitude: controla quanto o preço sobe/desce em torno da média. O valor absoluto |A| é a metade da variação entre máximo e mínimo.
  • B é o deslocamento vertical: é a média (valor central) da oscilação.
  • O argumento \frac{2\pi t}{12} indica período de 12 meses (um ano).
    Propriedades úteis da função cosseno: \cos(0)=1 e \cos(\pi)=-1. Como t=0 dá o máximo e t=6 (meio período) dá o mínimo, podemos escrever as equações correspondentes aos dados.

Passo 3

Usando \cos(0)=1 no mês t=0 (janeiro) temos:
P(0)=A\cdot 1 + B = A + B = 15.
Usando \cos(\pi)=-1 no mês t=6 (julho) temos:
P(6)=A\cdot(-1) + B = -A + B = 5.
Portanto obtemos o sistema linear
\begin{cases} A + B = 15,\\[4pt] -\,A + B = 5. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema. Somando as duas equações:
(A+B)+(-A+B)=15+5 \implies 2B = 20.
Logo
B = 10.
Substituindo em A+B=15:
A + 10 = 15 \implies A = 5.

Passo 5

Agora temos o modelo ajustado:
P(t)=5\cos\!\left(\frac{2\pi t}{12}\right)+10.
Confirmando a interpretação: a amplitude é 5 (metade da variação de 15 para 5) e a média é 10. Tudo faz sentido intuitivamente.

Passo 6

Identificamos que março corresponde a t=2 (janeiro 0, fevereiro 1, março 2). Calculamos:
\cos\!\left(\frac{2\pi\cdot 2}{12}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.
Então
P(2)=5\cdot\frac{1}{2}+10 = \frac{5}{2}+10 = 2{,}5 + 10 = 12{,}5.

Passo 7

Interpretação final: o preço no mês de março é \text{R\$ }12{,}50, que corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A) 12,5

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