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O gerente de um supermercado observou que o preço por quilo de uma fruta sazonal segue ciclos anuais. Os dados mostram preço máximo de
15,00 \mathrm{em}
\mathrm{R} $5,00 \mathrm{em}$ julho.
O modelo
, onde
é o mês (sendo
para janeiro), foi ajustado para os dados. Com as constantes
e
do modelo ajustado, o preço do quilograma da fruta no mês de março é:
(A) 12,5 ;
(B) 11,5 ;
(C) 10,5 ;
(D) 9,5 ;
(E) 8,5 .
O gerente de um supermercado observou que o preço por quilo de uma fruta sazonal segue ciclos anuais. Os dados mostram preço máximo de
O modelo
(A) 12,5 ;
(B) 11,5 ;
(C) 10,5 ;
(D) 9,5 ;
(E) 8,5 .
Passo 1
O enunciado pede o preço por quilo da fruta no mês de março, usando o modelo
onde
é o mês com
para janeiro. Informações dadas:
- •Preço máximo:P(0)=R$15{,}00\ (janeiro,t=0);\\
- •Preço mínimo:P(6)=R$5{,}00\ (julho,t=6).
Queremos encontrar
no mês de março. Lembre-se: janeiro é
, então março corresponde a
.
Passo 2
Explicando a forma do modelo e como usar os dados (aulas curtas aqui, sem medo!):
-
é a amplitude: controla quanto o preço sobe/desce em torno da média. O valor absoluto é a metade da variação entre máximo e mínimo. -
é o deslocamento vertical: é a média (valor central) da oscilação. - O argumento
indica período de meses (um ano).
Propriedades úteis da função cosseno:e . Como dá o máximo e (meio período) dá o mínimo, podemos escrever as equações correspondentes aos dados.
Passo 3
Usando
no mês
(janeiro) temos:
Usando
no mês
(julho) temos:
Portanto obtemos o sistema linear
Passo 4
Vamos resolver o sistema. Somando as duas equações:
Logo
Substituindo em
:
Passo 5
Agora temos o modelo ajustado:
Confirmando a interpretação: a amplitude é
(metade da variação de
para
) e a média é
. Tudo faz sentido intuitivamente.
Passo 6
Identificamos que março corresponde a
(janeiro
, fevereiro
, março
). Calculamos:
Então
Passo 7
Interpretação final: o preço no mês de março é
, que corresponde à alternativa (A).
Resposta
(A)