Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
\left(4 y+y x^{2}\right) d y+\left(2 x+x y^{2}\right) d x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\left(4 y+y x^{2}\right) d y+\left(2 x+x y^{2}\right) d x=0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A equação está escrita em termos de diferenciais dx e dy.
  • Queremos encontrar a família de soluções gerais (a solução implícita ou explícita) que satisfaça essa relação diferencial.
  • Os coeficientes multiplicando dx e dy são funções de x e y: são dados pela equação acima (não há condições iniciais fornecidas).

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
identificando
M(x,y)=2x+x y^{2}=x(2+y^{2})
e
N(x,y)=4y+x^{2}y=y(4+x^{2}).
Repare que escrevi M como coeficiente de dx e N como coeficiente de dy; isso é só organização para poder testar métodos.

Passo 3

Vou escolher o método de solução. Há várias opções (por exemplo tentar separar variáveis ou verificar se é exata). Não usarei separação direta porque os termos aparecem misturados em x e y de forma que não é óbvio isolar fatores dependendo só de x de um lado e só de y do outro. Em vez disso, testo se a equação é exata: uma equação é exata se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x(2+y^{2})\big)=x\cdot 2y=2xy,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(y(4+x^{2})\big)=y\cdot 2x=2xy.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=2xy, a equação é exata. Ótimo — isso nos dá um método direto.

Passo 4

Teoria rápida (explicação): se a equação é exata, existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N(x,y).
A solução geral é dada implicitamente por
\Psi(x,y)=C,
onde C é constante. Para encontrar \Psi integramos M em relação a x (tratando y como constante) e adicionamos uma função arbitrária de y.

Passo 5

Integro M(x,y)=x(2+y^{2}) em relação a x:
\int M(x,y)\,dx=\int x(2+y^{2})\,dx=(2+y^{2})\int x\,dx=(2+y^{2})\frac{x^{2}}{2}=x^{2}+\frac{x^{2}y^{2}}{2}.
Portanto posso escrever
\Psi(x,y)=x^{2}+\frac{x^{2}y^{2}}{2}+h(y),
onde h(y) é uma função de y ainda desconhecida (vem da integração).

Passo 6

Agora imposto a condição \dfrac{\partial \Psi}{\partial y}=N(x,y). Calculo \dfrac{\partial \Psi}{\partial y}:
\frac{\partial \Psi}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\Big(x^{2}+\frac{x^{2}y^{2}}{2}+h(y)\Big)=x^{2}y+h'(y).
Isso deve ser igual a N(x,y)=y(4+x^{2})=x^{2}y+4y. Igualando:
x^{2}y+h'(y)=x^{2}y+4y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=4y.
Integro h'(y):
h(y)=\int 4y\,dy=2y^{2}+C_{0},
onde C_{0} é uma constante que pode ser absorvida na constante final da solução.

Passo 7

Então a função potencial é
\Psi(x,y)=x^{2}+\frac{x^{2}y^{2}}{2}+2y^{2}.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
\Psi(x,y)=C,
ou seja
x^{2}+\frac{x^{2}y^{2}}{2}+2y^{2}=C.
Multiplicando por 2 para ficar mais “limpo”,
x^{2}y^{2}+2x^{2}+4y^{2}=C',
onde C' é uma constante arbitrária (absorvendo o 2 do outro lado). Essa relação define a família de curvas solução. Você pode checar diferenciando \Psi(x,y)=C e voltando à equação original — dá certo porque construímos \Psi a partir de M e N.

Resposta

x^{2}+\frac{x^{2}y^{2}}{2}+2y^{2}=C

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