Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que é pedido:
- A equação está escrita em termos de diferenciais
e . - Queremos encontrar a família de soluções gerais (a solução implícita ou explícita) que satisfaça essa relação diferencial.
- Os coeficientes multiplicando
e são funções de e : são dados pela equação acima (não há condições iniciais fornecidas).
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão
identificando
e
Repare que escrevi
como coeficiente de
e
como coeficiente de
; isso é só organização para poder testar métodos.
Passo 3
Vou escolher o método de solução. Há várias opções (por exemplo tentar separar variáveis ou verificar se é exata). Não usarei separação direta porque os termos aparecem misturados em
e
de forma que não é óbvio isolar fatores dependendo só de
de um lado e só de
do outro. Em vez disso, testo se a equação é exata: uma equação é exata se
Calculo as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Ótimo — isso nos dá um método direto.
Passo 4
Teoria rápida (explicação): se a equação é exata, existe uma função potencial
tal que
A solução geral é dada implicitamente por
onde
é constante. Para encontrar
integramos
em relação a
(tratando
como constante) e adicionamos uma função arbitrária de
.
Passo 5
Integro
em relação a
:
Portanto posso escrever
onde
é uma função de
ainda desconhecida (vem da integração).
Passo 6
Agora imposto a condição
. Calculo
:
Isso deve ser igual a
. Igualando:
Integro
:
onde
é uma constante que pode ser absorvida na constante final da solução.
Passo 7
Então a função potencial é
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
ou seja
Multiplicando por
para ficar mais “limpo”,
onde
é uma constante arbitrária (absorvendo o
do outro lado). Essa relação define a família de curvas solução. Você pode checar diferenciando
e voltando à equação original — dá certo porque construímos
a partir de
e
.