O germânio tem densidade de
e massa atômica de
. Determine o parâmetro de rede do cristal.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Densidade do germânio:
. - Massa atômica (massa molar) do germânio:
.
- Densidade do germânio:
- O que é pedido:
- Determinar o parâmetro de rede do cristal (ou seja, a aresta
da célula unitária cúbica), em unidades práticas (por exemplo angström).
- Determinar o parâmetro de rede do cristal (ou seja, a aresta
Passo 2
Entendimento estrutural importante (sem isso não dá para relacionar densidade com o parâmetro de rede).
- O germânio cristaliza na estrutura do diamante (mesma família do silício). A estrutura do diamante pode ser vista como uma rede cúbica centrada nas faces (FCC) com uma base de dois átomos por posição de rede, o que resulta em
átomos por célula unitária cúbica convencional. - Portanto vamos usar
como número de átomos por célula unitária.
Passo 3
Fórmula que relaciona densidade, massa molar, número de átomos por célula e parâmetro de rede.
- A densidade
(em ) pode ser expressa por:
onde:
-
é o número de átomos por célula unitária (aqui ), -
é a massa molar ( ), -
é o número de Avogadro ( ), -
é o parâmetro de rede (aresta da célula cúbica) em . - Isolando
:
Explicação curta: o numerador
dá a massa (em gramas) contida numa célula unitária (já que
é g/mol e dividindo por
dá g/átomo); dividir por
transforma massa da célula em volume da célula; a raiz cúbica desse volume dá a aresta cúbica
.
Passo 4
Substituir os valores numéricos na fórmula (mantendo unidades consistentes em
,
,
).
- Colocando números:
- Calcular o numerador:
- Calcular o denominador:
Observação: a unidade combinada do denominador é
, então ao dividir
por
obtém-se volume em
.
Passo 5
Calcular o volume da célula unitária
.
Explicação do valor: esse é o volume de uma célula cúbica contendo 8 átomos de germânio, expresso em
.
Passo 6
Obter
fazendo a raiz cúbica de
. Mostrando o procedimento para poder fazer sem calculadora:
- Escrever
na forma . - A raiz cúbica separa a mantissa e a potência de 10:
-
(típica aproximação que pode ser obtida por tentativa ou usando pequenas tabelas). -
-
e , então .
-
- Assim
Passo 7
Converter o resultado para unidades mais usuais (ångström).
- Sabendo que
, então
Pequeno incentivo: chegamos ao valor esperado (na literatura
), então a conta bate bem — bom trabalho mantendo a calma!