O germânio tem densidade de 5.32 . \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} e massa atômica de 72.60 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. Determine o parâmetro de rede do cristal.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Densidade do germânio: \rho = 5,32\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    • Massa atômica (massa molar) do germânio: M = 72,60\\ \mathrm{g/mol}.
  • O que é pedido:
    • Determinar o parâmetro de rede do cristal (ou seja, a aresta a da célula unitária cúbica), em unidades práticas (por exemplo angström).

Passo 2

Entendimento estrutural importante (sem isso não dá para relacionar densidade com o parâmetro de rede).
  • O germânio cristaliza na estrutura do diamante (mesma família do silício). A estrutura do diamante pode ser vista como uma rede cúbica centrada nas faces (FCC) com uma base de dois átomos por posição de rede, o que resulta em 8 átomos por célula unitária cúbica convencional.
  • Portanto vamos usar n = 8 como número de átomos por célula unitária.

Passo 3

Fórmula que relaciona densidade, massa molar, número de átomos por célula e parâmetro de rede.
  • A densidade \rho (em \mathrm{g/cm^{3}}) pode ser expressa por:
\rho = \frac{n\,M}{N_A\,a^{3}},
onde:
  • n é o número de átomos por célula unitária (aqui n=8),
  • M é a massa molar ( \mathrm{g/mol}),
  • N_A é o número de Avogadro ( N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}),
  • a é o parâmetro de rede (aresta da célula cúbica) em \mathrm{cm}.
  • Isolando a:
a = \left(\frac{n\,M}{N_A\,\rho}\right)^{1/3}.
Explicação curta: o numerador nM dá a massa (em gramas) contida numa célula unitária (já que M é g/mol e dividindo por N_A dá g/átomo); dividir por \rho transforma massa da célula em volume da célula; a raiz cúbica desse volume dá a aresta cúbica a.

Passo 4

Substituir os valores numéricos na fórmula (mantendo unidades consistentes em \mathrm{g}, \mathrm{cm}, \mathrm{mol}).
  • Colocando números:
n = 8,\qquad M = 72,60\\ \mathrm{g/mol},\qquad N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}},\qquad \rho = 5,32\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Calcular o numerador:
nM = 8 \times 72,60 = 580,8\\ \mathrm{g/mol}.
  • Calcular o denominador:
N_A\,\rho = (6,022\times10^{23})\times(5,32) = 3,2037\times10^{24}.
Observação: a unidade combinada do denominador é \mathrm{mol^{-1}\cdot g/cm^{3}}, então ao dividir nM por N_A\rho obtém-se volume em \mathrm{cm^{3}}.

Passo 5

Calcular o volume da célula unitária a^{3}.
a^{3} = \frac{nM}{N_A\rho} = \frac{580,8}{3,2037\times10^{24}} = 1,8126\times10^{-22}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Explicação do valor: esse é o volume de uma célula cúbica contendo 8 átomos de germânio, expresso em \mathrm{cm^{3}}.

Passo 6

Obter a fazendo a raiz cúbica de a^{3}. Mostrando o procedimento para poder fazer sem calculadora:
  • Escrever a^{3} na forma a^{3} = 1,8126\times10^{-22}.
  • A raiz cúbica separa a mantissa e a potência de 10:
    • \sqrt[3]{1,8126}\approx 1,21995 (típica aproximação que pode ser obtida por tentativa ou usando pequenas tabelas).
    • \sqrt[3]{10^{-22}} = 10^{-22/3} = 10^{-8 + 2/3} = 10^{-8}\times10^{2/3}.
    • 10^{2/3} = (10^{1/3})^{2} e 10^{1/3}\approx 2,1544347, então 10^{2/3}\approx 4,6416.
  • Assim
a = 1,21995 \times 4,6416\times10^{-8}\\ \mathrm{cm} \approx 5,66\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Converter o resultado para unidades mais usuais (ångström).
  • Sabendo que 1\\ \mathrm{cm} = 10^{8}\\ \mathrm{\AA}, então
a = 5,66\times10^{-8}\\ \mathrm{cm} = 5,66\\ \mathrm{\AA}.
Pequeno incentivo: chegamos ao valor esperado (na literatura a\approx5,657\\ \mathrm{\AA}), então a conta bate bem — bom trabalho mantendo a calma!

Resposta

\displaystyle a = 5,66\\ \mathrm{\AA}

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