Mostre que o fator de empacotamento (razão entre o volume de uma esfera sólida e de uma célula unitária) é 0.52 para um rede cúbica, 0.68 para uma rede bcc e 0.74 para uma rede fcc. Adicionalmente, mostre que a razão c/a para uma estrutura hcp (hexagonal close packed) é 1.633.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede para mostrar o fator de empacotamento (razão entre o volume ocupado por esferas sólidas e o volume da célula unitária) para três redes: cúbica (simples), bcc (body-centered cubic) e fcc (face-centered cubic), e os valores numéricos esperados:
, e , respectivamente. - Pede também que se mostre a razão
para a estrutura hcp (hexagonal close packed), cujo valor esperado é . - Informação que usaremos (padrão em problemas de empacotamento): cada partícula é uma esfera de raio
; a célula unitária tem parâmetro de rede (ou e no caso hexagonal); o volume da esfera é dado por . - Definição explícita que vamos utilizar: fator de empacotamento
onde
é o número efetivo de átomos (esferas) por célula unitária e
.
Passo 2
Explicação geral das contas que vamos fazer (fórmulas e como aplicá-las):
- Precisamos sempre de dois ingredientes para cada rede:
- O número de esferas efetivas na célula unitária,
. - A relação geométrica entre o parâmetro de rede
(ou ) e o raio da esfera, obtida a partir de quais esferas se tocam na célula.
- O número de esferas efetivas na célula unitária,
- Depois calculamos
substituindo
por
(para cúbicas) ou pela fórmula do paralelepípedo da célula hexagonal (no caso hcp usaremos apenas a razão
, não o empacotamento).
- Em cada caso vou explicar o porquê da contagem de
e da relação entre e , passo a passo.
Passo 3
Rede cúbica simples (simple cubic, SC)
- Contagem de esferas por célula: há 8 cantos, cada canto contribui com
de uma esfera para a célula, logo
- Relação geométrica entre
e : nas redes cúbicas simples as esferas se tocam ao longo da aresta do cubo, então a aresta vale duas vezes o raio:
- Volume da célula:
. - Calcular o fator de empacotamento:
- Simplificando:
- Valor numérico:
Comentário curto e amigável: ou seja, numa rede cúbica simples só cerca de 52% do volume da célula é efetivamente ocupado pelas esferas — bastante “vazio” entre elas.
Passo 4
Rede body-centered cubic (bcc)
- Contagem de esferas por célula: 8 cantos com
cada → , mais 1 átomo no centro da célula → total
- Relação geométrica entre
e : em bcc as esferas se tocam ao longo da diagonal do corpo do cubo (body diagonal). O comprimento da diagonal do corpo é . Nessa diagonal, a sequência de centros é: canto — centro — canto, e a distância entre um canto e o centro é ; essa distância é igual à soma dos raios de duas esferas que se tocam (ou seja, ). Logo
- Volume da célula:
- Fator de empacotamento:
- Simplificando passo a passo:
Primeiro o numerador:.
Dividindo:
- Valor numérico:
Passo 5
Rede face-centered cubic (fcc)
- Contagem de esferas por célula: 8 cantos com
cada → e 6 faces com cada → , total
- Relação geométrica entre
e : em fcc as esferas se tocam ao longo da diagonal da face. O comprimento da diagonal da face é ; ao longo dessa diagonal temos canto — centro de face — canto, e a diagonal inteira corresponde a quatro raios (duas esferas tocando-se no centro de face), portanto
- Volume da célula:
- Fator de empacotamento:
- Simplificando:
- Valor numérico:
Comentário curto: fcc e hcp são os empacotamentos mais densos de esferas idênticas, ambos com a mesma fração de empacotamento ideal (≈0,74).
Passo 6
Razão
para hcp (hexagonal close packed), derivação geométrica
- Visualização rápida (imagina como três esferas formando um triângulo equilátero no plano A, e uma esfera da camada B encaixada no “hueco” formado por essas três): considere três esferas de mesma raio
com centros nos vértices de um triângulo equilátero de lado . Em empacotamento próximo, duas esferas que se tocam têm entre seus centros. Essas três esferas formam a base do tetraedro regular cujo vértice acima é o centro da esfera da camada seguinte que toca cada uma das três. - Para um tetraedro regular de aresta
a altura (distância do centro de uma face ao vértice oposto) vale
No nosso caso
, logo a distância vertical entre o plano que contém os centros das três esferas da camada A e o centro da esfera da camada B é
- Na pilha ABAB (hcp), a repetição da posição A ocorre dois níveis acima, portanto a constante de rede
(distância entre planos A equivalentes ao longo do eixo hexagonal) é
- O parâmetro de rede
(número usado na base hexagonal) corresponde à separação entre centros de esferas vizinhas no plano hexagonal; para esferas que se tocam no plano isso é simplesmente
- Portanto a razão
é
- Valor numérico:
Comentário curto: esse valor é o chamado valor ideal para hcp quando as esferas estão em empacotamento compacto (close packed).
Passo 7
Resumo numérico e interpretação rápida (para memorização e prova)
- Fórmulas fechadas que obtivemos:
-
. -
. -
. -
.
-
- Para decorar: as duas estruturas densas (fcc e hcp) têm o mesmo empacotamento máximo ≈
; bcc é intermediária ≈ ; cúbica simples é bem pouco eficiente ≈ .
Resposta
rede cúbica (SC):
rede bcc:
rede fcc:
hcp (razão ):
rede bcc:
rede fcc:
hcp (razão