Mostre que o fator de empacotamento (razão entre o volume de uma esfera sólida e de uma célula unitária) é 0.52 para um rede cúbica, 0.68 para uma rede bcc e 0.74 para uma rede fcc. Adicionalmente, mostre que a razão c/a para uma estrutura hcp (hexagonal close packed) é 1.633.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede para mostrar o fator de empacotamento (razão entre o volume ocupado por esferas sólidas e o volume da célula unitária) para três redes: cúbica (simples), bcc (body-centered cubic) e fcc (face-centered cubic), e os valores numéricos esperados: 0,52, 0,68 e 0,74, respectivamente.
  • Pede também que se mostre a razão c/a para a estrutura hcp (hexagonal close packed), cujo valor esperado é 1{,}633.
  • Informação que usaremos (padrão em problemas de empacotamento): cada partícula é uma esfera de raio r; a célula unitária tem parâmetro de rede a (ou a e c no caso hexagonal); o volume da esfera é dado por \dfrac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Definição explícita que vamos utilizar: fator de empacotamento
\eta=\frac{\text{volume total das esferas dentro da célula}}{\text{volume da célula}}=\frac{N\;V_{\text{esfera}}}{V_{\text{célula}}},ééé
onde N é o número efetivo de átomos (esferas) por célula unitária e V_{\text{esfera}}=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}.

Passo 2

Explicação geral das contas que vamos fazer (fórmulas e como aplicá-las):
  • Precisamos sempre de dois ingredientes para cada rede:
    1. O número de esferas efetivas na célula unitária, N.
    2. A relação geométrica entre o parâmetro de rede a (ou a,c) e o raio r da esfera, obtida a partir de quais esferas se tocam na célula.
  • Depois calculamos
\eta=\frac{N\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{V_{\text{célula}}}é
substituindo V_{\text{célula}}é por a^{3} (para cúbicas) ou pela fórmula do paralelepípedo da célula hexagonal (no caso hcp usaremos apenas a razão c/a, não o empacotamento).
  • Em cada caso vou explicar o porquê da contagem de N e da relação entre a e r, passo a passo.

Passo 3

Rede cúbica simples (simple cubic, SC)
  • Contagem de esferas por célula: há 8 cantos, cada canto contribui com 1/8 de uma esfera para a célula, logo
N=8\cdot\frac{1}{8}=1.
  • Relação geométrica entre a e r: nas redes cúbicas simples as esferas se tocam ao longo da aresta do cubo, então a aresta a vale duas vezes o raio:
a=2r.
  • Volume da célula: V_{\text{célula}}=a^{3}é.
  • Calcular o fator de empacotamento:
\eta_{\text{SC}}=\frac{N\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{a^{3}} =\frac{1\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{(2r)^{3}}.
  • Simplificando:
\eta_{\text{SC}}=\frac{\dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{8 r^{3}}=\frac{\pi}{6}.
  • Valor numérico:
\eta_{\text{SC}}=\frac{\pi}{6}\approx 0{,}5236\approx 0{,}52.
Comentário curto e amigável: ou seja, numa rede cúbica simples só cerca de 52% do volume da célula é efetivamente ocupado pelas esferas — bastante “vazio” entre elas.

Passo 4

Rede body-centered cubic (bcc)
  • Contagem de esferas por célula: 8 cantos com 1/8 cada → 1, mais 1 átomo no centro da célula → total
N=1+1=2.
  • Relação geométrica entre a e r: em bcc as esferas se tocam ao longo da diagonal do corpo do cubo (body diagonal). O comprimento da diagonal do corpo é \sqrt{3}\,a. Nessa diagonal, a sequência de centros é: canto — centro — canto, e a distância entre um canto e o centro é \dfrac{\sqrt{3}\,a}{2}; essa distância é igual à soma dos raios de duas esferas que se tocam (ou seja, 2r). Logo
\frac{\sqrt{3}\,a}{2}=2r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{3}}.
  • Volume da célula:
a^{3}=\left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{64 r^{3}}{3\sqrt{3}}.
  • Fator de empacotamento:
\eta_{\text{bcc}}=\frac{N\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{a^{3}} =\frac{2\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{\dfrac{64 r^{3}}{3\sqrt{3}}}.
  • Simplificando passo a passo:
    Primeiro o numerador: 2\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}=\dfrac{8}{3}\pi r^{3}.
    Dividindo:
\eta_{\text{bcc}}=\frac{\dfrac{8}{3}\pi r^{3}}{\dfrac{64 r^{3}}{3\sqrt{3}}} =\dfrac{8}{3}\pi r^{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{64 r^{3}} =\frac{8\pi\sqrt{3}}{64}=\frac{\pi\sqrt{3}}{8}.
  • Valor numérico:
\eta_{\text{bcc}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0{,}6802\approx 0{,}68.

Passo 5

Rede face-centered cubic (fcc)
  • Contagem de esferas por célula: 8 cantos com 1/8 cada → 1 e 6 faces com 1/2 cada → 3, total
N=1+3=4.
  • Relação geométrica entre a e r: em fcc as esferas se tocam ao longo da diagonal da face. O comprimento da diagonal da face é \sqrt{2}\,a; ao longo dessa diagonal temos canto — centro de face — canto, e a diagonal inteira corresponde a quatro raios (duas esferas tocando-se no centro de face), portanto
\sqrt{2}\,a=4r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,r.
  • Volume da célula:
a^{3}=(2\sqrt{2}\,r)^{3}=16\sqrt{2}\,r^{3}.
  • Fator de empacotamento:
\eta_{\text{fcc}}=\frac{N\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{a^{3}} =\frac{4\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}\,r^{3}} =\frac{\dfrac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}\,r^{3}}.
  • Simplificando:
\eta_{\text{fcc}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}.
  • Valor numérico:
\eta_{\text{fcc}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048\approx 0{,}74.
Comentário curto: fcc e hcp são os empacotamentos mais densos de esferas idênticas, ambos com a mesma fração de empacotamento ideal (≈0,74).

Passo 6

Razão c/a para hcp (hexagonal close packed), derivação geométrica
  • Visualização rápida (imagina como três esferas formando um triângulo equilátero no plano A, e uma esfera da camada B encaixada no “hueco” formado por essas três): considere três esferas de mesma raio r com centros nos vértices de um triângulo equilátero de lado L. Em empacotamento próximo, duas esferas que se tocam têm L=2r entre seus centros. Essas três esferas formam a base do tetraedro regular cujo vértice acima é o centro da esfera da camada seguinte que toca cada uma das três.
  • Para um tetraedro regular de aresta L a altura (distância do centro de uma face ao vértice oposto) vale
H_{\text{tetra}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\,L.
No nosso caso L=2r, logo a distância vertical entre o plano que contém os centros das três esferas da camada A e o centro da esfera da camada B é
z=\sqrt{\frac{2}{3}}\,(2r)=2r\sqrt{\frac{2}{3}}.
  • Na pilha ABAB (hcp), a repetição da posição A ocorre dois níveis acima, portanto a constante de rede c (distância entre planos A equivalentes ao longo do eixo hexagonal) é
c=2z=2\cdot 2r\sqrt{\frac{2}{3}}=4r\sqrt{\frac{2}{3}}.
  • O parâmetro de rede a (número usado na base hexagonal) corresponde à separação entre centros de esferas vizinhas no plano hexagonal; para esferas que se tocam no plano isso é simplesmente
a=2r.
  • Portanto a razão c/a é
\frac{c}{a}=\frac{4r\sqrt{\dfrac{2}{3}}}{2r}=2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}.
  • Valor numérico:
\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{8}{3}}\approx 1{,}63299\approx 1{,}633.
Comentário curto: esse valor é o chamado valor ideal para hcp quando as esferas estão em empacotamento compacto (close packed).

Passo 7

Resumo numérico e interpretação rápida (para memorização e prova)
  • Fórmulas fechadas que obtivemos:
    • \eta_{\text{SC}}=\dfrac{\pi}{6}\approx 0{,}5236.
    • \eta_{\text{bcc}}=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0{,}6802.
    • \eta_{\text{fcc}}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048.
    • \dfrac{c}{a}_{\text{hcp}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}\approx 1{,}63299.
  • Para decorar: as duas estruturas densas (fcc e hcp) têm o mesmo empacotamento máximo ≈ 0{,}74; bcc é intermediária ≈ 0{,}68; cúbica simples é bem pouco eficiente ≈ 0{,}52.

Resposta

rede cúbica (SC): \dfrac{\pi}{6}\approx 0,52
rede bcc: \dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0,68
rede fcc: \dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0,74
hcp (razão c/a): \sqrt{\dfrac{8}{3}}\approx 1,633

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