Gestão de Frotas e Habilitações:
Uma transportadora possui \mathbf{5 0 0} motoristas e monitora as habilitações para transporte de cargas especiais: Produtos Perigosos §, Cargas Indivisíveis (I) e Veículos de Emergência (V). O levantamento apontou:
  • 20 motoristas possuem as três habilitações.
  • 60 motoristas são habilitados em P e I.
  • 50 motoristas são habilitados em I e V.
  • 40 motoristas são habilitados em P e V.
  • 150 motoristas no total possuem habilitação P.
  • 140 motoristas no total possuem habilitação I.
  • 120 motoristas no total possuem habilitação V.
Ao selecionar um motorista ao acaso, calcule a probabilidade de:
O motorista ser habilitado em Produtos Perigosos § e Veículos de Emergência (V), mas não em Cargas Indivisíveis (I).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Universo (total de motoristas): 500.
  • Motoristas com as três habilitações (P, I e V): 20.
  • Motoristas habilitados em P e I (possivelmente também V): 60.
  • Motoristas habilitados em I e V (possivelmente também P): 50.
  • Motoristas habilitados em P e V (possivelmente também I): 40.
  • Total com habilitação P: 150.
  • Total com habilitação I: 140.
  • Total com habilitação V: 120.
O que o enunciado pede: a probabilidade de escolher um motorista ao acaso que seja habilitado em Produtos Perigosos e Veículos de Emergência, mas não em Cargas Indivisíveis. Em símbolos, quer-se P\bigl(P\cap V\cap I^{c}\bigr).

Passo 2

Entendendo o evento pedido e a relação entre conjuntos (explicação didática).
  • O conjunto P\cap V são todos os motoristas que têm tanto P quanto V. Entre esses, alguns também podem ter I (são os que têm as três habilitações) e outros não.
  • O conjunto que queremos é exatamente aqueles que têm P e V e NÃO têm I, ou seja P\cap V\cap I^{c}.
  • Uma relação simples e muito útil é que os elementos de P\cap V se dividem em dois grupos disjuntos:
    • os que também têm I: P\cap V\cap I, e
    • os que não têm I: P\cap V\cap I^{c}.
  • Portanto o tamanho (número de motoristas) satisfaz
\bigl|P\cap V\bigr|=\bigl|P\cap V\cap I\bigr|+\bigl|P\cap V\cap I^{c}\bigr|.
  • Isolando o que queremos:
\bigl|P\cap V\cap I^{c}\bigr|=\bigl|P\cap V\bigr|-\bigl|P\cap V\cap I\bigr|.
Essa fórmula é direta e muito usada em exercícios com diagramas de Venn: para obter quem tem exatamente duas de três habilitações, subtrai-se quem tem as três.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números dados (cálculo do número de motoristas que têm P e V, mas não I).
  • Do enunciado pegamos os valores: \bigl|P\cap V\bigr|=40 e \bigl|P\cap V\cap I\bigr|=20. (Observação: o enunciado dá o número de motoristas habilitados em P e V como 40; isso inclui, como é padrão nesses levantamentos, os que também têm I.)
  • Usando a fórmula:
\bigl|P\cap V\cap I^{c}\bigr]=40-20=20.
Portanto há 20 motoristas que têm P e V e não têm I.

Passo 4

Convertendo o número em probabilidade (escolha aleatória entre os 500 motoristas).
  • A probabilidade de ocorrer um evento é o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos possíveis:
P\bigl(P\cap V\cap I^{c}\bigr)=\frac{\bigl|P\cap V\cap I^{c}\bigr|}{500}=\frac{20}{500}.
  • Simplificando e escrevendo em decimal e porcentagem:
\frac{20}{500}=\frac{1}{25}=0,04=4\%.

Resposta

\dfrac{20}{500}=0,04=4\%

Exercícios relacionados