Em uma gincana escolar, a equipe Azul participou de 35 provas e venceu 21 delas. Qual é a fração irredutível que representa o número de vitórias da equipe Azul em relação ao total de provas disputadas?
a) 21 / 35
b) 7 / 5
c) 3 / 5
d) 7 / 12
e) 1 / 3

Passo 1

O enunciado pede a fração irredutível que representa o número de vitórias da equipe Azul em relação ao total de provas disputadas. Informações dadas:
  • Número de vitórias: 21.
  • Total de provas disputadas: 35.
  • Opções apresentadas:
    a) 21/35
    b) 7/5
    c) 3/5
    d) 7/12
    e) 1/3

Passo 2

O que significa “fração irredutível”?
Uma fração \dfrac{a}{b} é irredutível quando o numerador a e o denominador b não têm nenhum divisor comum além de 1. Para transformar uma fração em sua forma irredutível, devemos dividir numerador e denominador pelo maior divisor comum (mdc) entre eles. Vou explicar o mdc (também chamado gcd): é o maior número inteiro que divide ambos sem resto.

Passo 3

Como vamos encontrar o mdc de 21 e 35? Uma forma prática é usar o algoritmo de Euclides. Faço as divisões sucessivas mostrando restos:
35 = 21 \cdot 1 + 14
21 = 14 \cdot 1 + 7
14 = 7 \cdot 2 + 0
Quando o resto chega a 0, o divisor correspondente é o mdc. Aqui o último divisor não-nulo é 7. Portanto
\operatorname{mdc}(21,35)=7.

Passo 4

Agora dividimos numerador e denominador da fração original \dfrac{21}{35} por 7:
\frac{21}{35}=\frac{21\div7}{35\div7}=\frac{3}{5}.
Isso é a fração reduzida.

Passo 5

Verificamos que \dfrac{3}{5} é irredutível: calculemos \operatorname{mdc}(3,5). Usando o algoritmo de Euclides:
5 = 3\cdot1 + 2
3 = 2\cdot1 + 1
2 = 1\cdot2 + 0
O último divisor não-nulo é 1, logo \operatorname{mdc}(3,5)=1. Portanto \dfrac{3}{5} está irredutível.

Passo 6

Comparemos com as opções:
  • a) \dfrac{21}{35} é equivalente a \dfrac{3}{5} mas não está reduzida (não é irredutível).
  • b) \dfrac{7}{5} é maior que 1, impossível para “vitórias/total” quando 21<35.
  • c) \dfrac{3}{5} coincide com a fração reduzida que encontramos.
  • d) \dfrac{7}{12} e e) \dfrac{1}{3} não são equivalentes a \dfrac{21}{35}.

Passo 7

Conclusão: a fração irredutível que representa as vitórias da equipe Azul é \dfrac{3}{5}, correspondente à alternativa correta.

Resposta

c) 3/5

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