Um giroscópio específico é composto por um disco uniforme com raio de 50 cm , instalado no centro de um eixo de 11 cm de comprimento e massa insignificante. O eixo encontra-se em posição horizontal, sustentado em uma de suas extremidades. Caso o disco esteja em rotação ao redor do eixo a uma velocidade de 1000 rev / min, qual seria a taxa de precessão ( em rad / s )? O peso p do disco é m g, e seu momento de inércia é m R^2 / 2.
a) ( ) 0,041
b) ( ) 1,395
c) ( ) 0,037
d) ( ) Nenhuma das outras alternativas.
e) ( ) 1,459

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício sobre giroscópios, que faz parte da física, mais especificamente da mecânica rotacional. O problema fala sobre um disco girando em um eixo e quer saber qual é a taxa de precessão desse sistema. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender conceitos como momento de inércia, torque, momento angular e como eles se relacionam para determinar a precessão.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a velocidade de rotação do disco de revoluções por minuto (rev/min) para radianos por segundo (rad/s), que é a unidade que a gente precisa para a taxa de precessão.
A velocidade de rotação é de 1000 rev/min. Sabemos que:
1 rev = 2pi rad
E:
1 min = 60 s
Então, a velocidade angular omega em rad/s é:
omega = 1000 times 2pi60 = 1000 times 2pi60 approx 104.72 rad/s

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia I do disco. A fórmula dada é:
I = m R^22
Onde:
- m é a massa do disco
- R é o raio, que é 50 cm, ou seja, 0,5 m
Então:
I = m times (0.5)^22 = m times 0.252 = m8

Passo 4

Com o momento de inércia, podemos calcular o momento angular L. A fórmula é:
L = I omega
Substituindo I e omega:
L = m8 times 104.72 approx 13.09 , m kg·m²/s ²

Passo 5

Agora, vamos calcular o torque tau causado pelo peso do disco. O torque é dado por:
tau = r times p
Onde:
- r é a distância do centro de massa ao ponto de apoio, que é metade do comprimento do eixo, ou seja, 11 cm / 2 = 5,5 cm = 0,055 m
- p = m g, sendo g approx 9.81 m/s²²
Então:
tau = 0.055 times m times 9.81 approx 0.539 , m N·m

Passo 6

Com o torque e o momento angular, podemos encontrar a taxa de precessão Omega usando a relação:
Omega = tauL
Substituindo os valores que calculamos:
Omega = 0.539 , m13.09 , m approx 0.0412 rad/s

Resposta

A taxa de precessão é aproximadamente 0,041 rad/s.

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