Uma jovem se diverte tentando acertar, da marca do pênalti, o travessão da barra. A jovem tem interesse de que a bola atinja o travessão na altura máxima da sua trajetória, fruto de um lançamento oblíquo.
Sabendo que a altura da barra é h e a distância típica da marca do pênalti para a barra é d, qual o módulo da componente vertical da velocidade que a jovem deve imprimir à bola ?
Sabendo que a altura da barra é h e a distância típica da marca do pênalti para a barra é d, qual o módulo da componente vertical da velocidade que a jovem deve imprimir à bola ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de uma bola de futebol que a jovem está chutando. A ideia é fazer a bola bater no travessão exatamente no ponto mais alto da trajetória. Para resolver isso, vamos usar conceitos de lançamento oblíquo e cinemática. Precisaremos calcular a componente vertical da velocidade inicial que a bola deve ter, usando a altura do travessão (h) e a distância horizontal até a barra (d).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no lançamento oblíquo, a trajetória da bola é uma parábola. O ponto mais alto da trajetória ocorre quando a velocidade vertical da bola é zero. Nesse ponto, a altura máxima atingida é h.
Passo 3
Para encontrar a componente vertical da velocidade inicial (
), usamos a fórmula da velocidade no ponto mais alto:
No ponto mais alto,
, então:
Isolando
:
Passo 4
Agora, vamos relacionar o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima com a altura h. Usamos a fórmula da posição vertical:
Substituindo
por
da etapa anterior:
Resolvendo para t:
Passo 5
Voltando à expressão de
:
Então, a componente vertical da velocidade inicial depende apenas da altura h e da aceleração da gravidade g.
Passo 6
Agora, precisamos considerar a distância horizontal d. No lançamento oblíquo, a distância horizontal (alcance) até o ponto mais alto da trajetória é d. Sabemos que a velocidade horizontal (
) é constante e dada por:
Substituindo t da etapa 4:
Isso nos mostra a relação entre a componente horizontal e o tempo.
Passo 7
Mas como a questão pede apenas a componente vertical, já temos tudo que precisamos. A componente vertical da velocidade inicial que a jovem deve dar à bola para que ela atinja a altura máxima h no travessão a uma distância d é:
Resposta
Portanto, o módulo da componente vertical da velocidade que a jovem deve imprimir à bola é: