Uma jovem se diverte tentando acertar, da marca do pênalti, o travessão da barra. A jovem tem interesse de que a bola atinja o travessão na altura máxima da sua trajetória, fruto de um lançamento oblíquo.
Sabendo que a altura da barra é h e a distância típica da marca do pênalti para a barra é d, qual o módulo da componente vertical da velocidade que a jovem deve imprimir à bola ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de uma bola de futebol que a jovem está chutando. A ideia é fazer a bola bater no travessão exatamente no ponto mais alto da trajetória. Para resolver isso, vamos usar conceitos de lançamento oblíquo e cinemática. Precisaremos calcular a componente vertical da velocidade inicial que a bola deve ter, usando a altura do travessão (h) e a distância horizontal até a barra (d).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no lançamento oblíquo, a trajetória da bola é uma parábola. O ponto mais alto da trajetória ocorre quando a velocidade vertical da bola é zero. Nesse ponto, a altura máxima atingida é h.

Passo 3

Para encontrar a componente vertical da velocidade inicial ( v0y), usamos a fórmula da velocidade no ponto mais alto:
vy = v0y - g t
No ponto mais alto, vy = 0, então:
0 = v0y - g t
Isolando v0y:
v0y = g t

Passo 4

Agora, vamos relacionar o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima com a altura h. Usamos a fórmula da posição vertical:
h = v0y t - 12 g t^2
Substituindo v0y por g t da etapa anterior:
h = g t cdot t - 12 g t^2 = g t^2 - 12 g t^2 = 12 g t^2
Resolvendo para t:
t = raiz2hg

Passo 5

Voltando à expressão de v0y:
v0y = g t = g raiz2hg = raiz2gh
Então, a componente vertical da velocidade inicial depende apenas da altura h e da aceleração da gravidade g.

Passo 6

Agora, precisamos considerar a distância horizontal d. No lançamento oblíquo, a distância horizontal (alcance) até o ponto mais alto da trajetória é d. Sabemos que a velocidade horizontal ( v0x) é constante e dada por:
v0x = dt
Substituindo t da etapa 4:
v0x = draiz2hg = d raizg2h
Isso nos mostra a relação entre a componente horizontal e o tempo.

Passo 7

Mas como a questão pede apenas a componente vertical, já temos tudo que precisamos. A componente vertical da velocidade inicial que a jovem deve dar à bola para que ela atinja a altura máxima h no travessão a uma distância d é:
v0y = raiz2gh

Resposta

Portanto, o módulo da componente vertical da velocidade que a jovem deve imprimir à bola é:
v0y = raiz2gh

Exercícios relacionados