Um goleiro chuta uma bola para cima, a um ângulo de 53 graus com a horizontal. A bola atinge uma altura máxima de 24 metros, acima do ponto de lançamento. Desprezando a resistência do ar:
Use a conservação da Energia Mecânica e encontre a rapidez inicial da bola?
Use a conservação da Energia Mecânica e encontre a rapidez inicial da bola?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um goleiro que chuta uma bola para cima, fazendo um ângulo de 53 graus com a horizontal. A bola atinge uma altura máxima de 24 metros acima do ponto de lançamento. Usaremos o conceito de Conservação da Energia Mecânica para encontrar a rapidez inicial da bola. Para isso, precisaremos entender as relações de energia cinética e energia potencial e como elas se aplicam ao movimento da bola.
Passo 2
Vamos começar aplicando a conservação da energia mecânica. A energia mecânica total no ponto de lançamento (quando a bola é chutada) é totalmente cinética, já que a energia potencial é zero nesse ponto (considerando o nível de lançamento como referência). No ponto mais alto da trajetória, a energia cinética é apenas a parte horizontal, já que a velocidade vertical é zero (a bola para de subir e começa a descer).
A fórmula da conservação da energia mecânica é:
Onde:
- $ E_{cinicial} = \frac{1}{2} m v_0^2 $ (energia cinética inicial)
- $ E_{cfinal} = \frac{1}{2} m (v_0 \cos \theta)^2 $ (energia cinética final na horizontal)
- $ E_{pfinal} = mgh $ (energia potencial final)
Passo 3
Substituindo na equação de conservação da energia:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por $ m $ (já que a massa não é zero):
Passo 4
Vamos isolar $ v_0^2 $. Primeiro, subtraímos $ \frac{1}{2} v_0^2 \cos^2 \theta $ de ambos os lados:
Fatorando $ \frac{1}{2} v_0^2 $:
Sabemos que $ 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta $. Então:
Passo 5
Agora, isolamos $ v_0^2 $:
Pegando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Vamos agora calcular os valores numéricos. Sabemos que:
- $ g = 9,81 , m/s^2 $
- $ h = 24 , m $
- $ \theta = 53^\circ $
Calculando $ \sin 53^\circ $:
Substituindo os valores:
Primeiro calculamos debaixo da raiz:
Então:
Resposta
A rapidez inicial da bola é aproximadamente 27,2 metros por segundo.