Um goleiro chuta uma bola para cima, a um ângulo de 53 graus com a horizontal. A bola atinge uma altura máxima de 24 metros, acima do ponto de lançamento. Desprezando a resistência do ar:
Use a conservação da Energia Mecânica e encontre a rapidez inicial da bola?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um goleiro que chuta uma bola para cima, fazendo um ângulo de 53 graus com a horizontal. A bola atinge uma altura máxima de 24 metros acima do ponto de lançamento. Usaremos o conceito de Conservação da Energia Mecânica para encontrar a rapidez inicial da bola. Para isso, precisaremos entender as relações de energia cinética e energia potencial e como elas se aplicam ao movimento da bola.

Passo 2

Vamos começar aplicando a conservação da energia mecânica. A energia mecânica total no ponto de lançamento (quando a bola é chutada) é totalmente cinética, já que a energia potencial é zero nesse ponto (considerando o nível de lançamento como referência). No ponto mais alto da trajetória, a energia cinética é apenas a parte horizontal, já que a velocidade vertical é zero (a bola para de subir e começa a descer).
A fórmula da conservação da energia mecânica é:
Ecinicial = Ecfinal + Epfinal
Onde:
  • $ E_{cinicial} = \frac{1}{2} m v_0^2 $ (energia cinética inicial)
  • $ E_{cfinal} = \frac{1}{2} m (v_0 \cos \theta)^2 $ (energia cinética final na horizontal)
  • $ E_{pfinal} = mgh $ (energia potencial final)

Passo 3

Substituindo na equação de conservação da energia:
12 m v0^2 = 12 m (v0 cos theta)^2 + mgh
Podemos simplificar dividindo todos os termos por $ m $ (já que a massa não é zero):
m

Passo 4

Vamos isolar $ v_0^2 $. Primeiro, subtraímos $ \frac{1}{2} v_0^2 \cos^2 \theta $ de ambos os lados:
v0^2
Fatorando $ \frac{1}{2} v_0^2 $:
12 v0^2 cos^2 theta
Sabemos que $ 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta $. Então:
12 v0^2 - 12 v0^2 cos^2 theta = gh

Passo 5

Agora, isolamos $ v_0^2 $:
v0^2
Pegando a raiz quadrada de ambos os lados:
v0^2 = 2ghsin^2 theta

Passo 6

Vamos agora calcular os valores numéricos. Sabemos que:
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $
  • $ h = 24 , m $
  • $ \theta = 53^\circ $
Calculando $ \sin 53^\circ $:
g = 9,81 , m/s^2
Substituindo os valores:
h = 24 , m
Primeiro calculamos debaixo da raiz:
theta = 53^circ
Então:
sin 53^circ

Resposta

A rapidez inicial da bola é aproximadamente 27,2 metros por segundo.

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