Uma gota aproximadamente esférica de tolueno possui raio inicial igual a r0 (2 mm). Esta gota está suspensa em um ambiente que contém ar seco e puro a 25,0^circ C e 1 atm. A pressão de vapor do tolueno nestas condições vale 3,84 kPa. Sabendo-se que, nas condições do sistema, o coeficiente de difusão do tolueno no ar vale 0,086 times 10^-4 m^2 / s e 0,867 g / L, determine o que se pede:
a. Deduza uma expressão para determinar o tempo requerido para a gota evaporar completamente através de uma abordagem pseudo-estacionária. Esta expressão deve estar em função das seguintes variáveis e parâmetros: DA B - coeficiente de difusão do tolueno no ar, pA ^ vap pressão de vapor do tolueno, R constante universal dos gases, T temperatura absoluta, pBML - Média logarítmica da pressão parcial do ar, rhoL - massa específica do tolueno líquido, ML - massa molar do tolueno; p - pressão absoluta e r0 raio inicial da gota.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma gota de tolueno com um raio inicial de $ r_0 = 2 $ mm, que está evaporando em um ambiente de ar seco a 25°C e 1 atm. A pressão de vapor do tolueno nessas condições é $ p_A^{vap} = 3,84 $ kPa. Também temos o coeficiente de difusão do tolueno no ar, $ D_{AB} = 0,086 \times 10^{-4} , m^2/s $, e a densidade do tolueno líquido, $ \rho_L = 0,867 , g/L $. O que a gente precisa fazer aqui é deduzir uma expressão para calcular o tempo necessário para a gota evaporar completamente usando uma abordagem pseudo-estacionária. Para isso, vamos precisar entender conceitos de difusão e evaporação, além de aplicar a Lei de Fick para o fluxo de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a evaporação de uma gota ocorre porque as moléculas do tolueno passam do estado líquido para o gasoso, difundindo-se no ar ao redor. A abordagem pseudo-estacionária assume que a concentração do vapor de tolueno no ar atinge um estado estacionário rapidamente em comparação com a taxa de evaporação da gota. Isso simplifica os cálculos porque podemos considerar o perfil de concentração como estático durante o processo de evaporação.

Passo 3

Vamos usar a Lei de Fick para difusão em regime estacionário, que nos diz que o fluxo de massa $ J $ é proporcional ao gradiente de concentração:
J
Onde:
  • $ J $ é o fluxo de massa (kg/m²s),
  • $ D_{AB} $ é o coeficiente de difusão do tolueno no ar,
  • $ \frac{dC}{dr} $ é o gradiente de concentração.

Passo 4

Como estamos considerando um sistema esférico, o gradiente de concentração depende da distância radial $ r $ a partir do centro da gota. A concentração do vapor no ponto da superfície da gota será igual à pressão de vapor $ p_A^{vap} $ dividida pela constante dos gases $ R $ e a temperatura $ T $:
r
E no infinito, a concentração é praticamente zero:
pA^vap

Passo 5

Integrando a Lei de Fick do centro até o infinito, temos:
J = DAB CA(r0)r0
Substituindo $ C_A(r_0) $:
CA(r0)

Passo 6

O fluxo de massa $ J $ está relacionado com a taxa de diminuição da massa da gota. A massa da gota é $ m = \frac{4}{3} \pi r_0^3 \rho_L $. Se a gota está evaporando, a taxa de variação da massa é igual ao fluxo de massa multiplicado pela superfície da gota $ 4 \pi r_0^2 $:
J
Substituindo $ J $:
m = 43 pi r0^3 rhoL

Passo 7

Agora, substituímos $ m = \frac{4}{3} \pi r_0^3 \rho_L $ na equação:
m = 43 pi r0^3 rhoL
Derivando em relação ao tempo:
ddt( 43 pi r0^3 rhoL ) = -4 pi r0 DAB pA^vapR T
Cancelando $ 4 \pi r_0 $ dos dois lados:
4 pi r0^2 rhoL dr0dt = -4 pi r0 DAB pA^vapR T

Passo 8

Separando as variáveis para integrar:
rhoL r0 dr0 = -DAB pA^vapR T dt
Integrando de $ r_0 = r_initial $ até $ r_0 = 0 $ e de $ t = 0 $ até $ t = t_{evap} $:
r0 = rinitial
r0 = 0

Passo 9

Resolvendo para $ t_{evap} $:
tevap

Resposta

O tempo necessário para a gota evaporar completamente é dado por:
tevap = rhoL r0^2 R T2 DAB pA^vap

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