- Uma onda transversal em uma corda tem frequência de
e uma amplitude de 0.05 m . A corda possui uma densidade linear de
e está esticada a uma tensão de 5 N . Determine a posição genérica
, suponha que
em
. Determine a velocidade transversal e aceleração transversal de um ponto da corda localizado em
para
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a expressão genérica da posição transversal
para a onda na corda, usando as condições dadas. - Calcular a velocidade transversal e a aceleração transversal de um ponto da corda localizado em
no instante .
Informações fornecidas (vou listar todas para não nos perder):
- frequência:
. - amplitude:
. - densidade linear:
(vou converter para unidades SI abaixo). - tensão na corda:
. - condição adicional do enunciado: "suponha que
em ". Vou interpretar isto como escolher a fase tal que a função de onda tenha fase zero em (ou seja, colocamos na forma padrão da onda). Não há outras informações sobre deslocamento inicial, então essa escolha é razoável e simples.
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Primeiro converto a densidade linear para o SI e calculo a velocidade de propagação da onda na corda.
- A densidade linear dada é
. Convertemos para :
- A velocidade de propagação
de uma onda transversal em uma corda é dada pela relação (fórmula fundamental que vem da dinâmica da corda):
Aqui
é a tensão da corda (em newtons) e
é a densidade linear (em
). A ideia física: quanto maior a tensão, mais rápida a onda; quanto maior a massa por metro, mais lenta a onda — simples e intuitivo.
- Substituindo os valores:
Passo 3
Calculo a frequência angular
e o número de onda
, que aparecem na forma padrão da onda.
- A frequência
está dada; a frequência angular é
Isto porque em uma oscilação harmônica a relação entre frequência em hertz e frequência angular é
. Aqui cada ciclo corresponde a
radianos.
- Substituindo:
- O número de onda
está ligado à velocidade e à frequência angular pela relação
Também podemos lembrar
, onde
é o comprimento de onda, e a relação
dá a mesma conexão.
- Substituindo:
Passo 4
Agora escrevo a forma genérica da onda transversal. Para uma onda harmônica viajando ao longo do eixo
com amplitude
, número de onda
e frequência angular
, a forma usual (para onda viajando no sentido positivo de
) é:
Explicando cada símbolo:
-
é a posição transversal (deslocamento vertical) do ponto da corda que está no ponto no instante . -
é a amplitude máxima do deslocamento. -
é o número de onda, em . -
é a frequência angular, em . -
é a fase inicial (constante), que determina deslocamentos iniciais.
A escolha do sinal no argumento
corresponde à onda viajando no sentido positivo de
. Poderíamos usar uma função cosseno em vez de seno; ambas são válidas com diferença de fase. Como o enunciado nos dá a convenção "suponha que
em
" e não dá deslocamento inicial específico, escolhemos
para simplificar — isto garante que
. Essa escolha é comum e compatível com o enunciado.
Passo 5
Substituo os valores de
,
e
na expressão da onda para obter
.
- Temos
, e . Com ,
Essa é a posição transversal genérica pedida. Confirma: em
dá
, e tem amplitude e frequência corretas.
Passo 6
Agora precisamos da velocidade transversal de um ponto da corda — isto é a derivada parcial de
em relação ao tempo
, mantendo
fixo.
- A definição: a velocidade transversal é
- Diferenciando a forma harmônica
em relação a , usando a regra da cadeia (derivada de é ):
Portanto
Explicando: o sinal menos aparece porque o argumento tem
; fisicamente, a máxima velocidade transversal tem magnitude
.
Passo 7
Calculo a aceleração transversal, que é a segunda derivada temporal (derivada do
).
- Definição:
- Derivando
em relação a :
mais direto (evitando confusão de sinais): derivada de
é
, então
Mas é mais simples e comum escrever:
Isto faz sentido: a aceleração é proporcional ao deslocamento
, com fator
(característica de movimentos harmônicos simples).
Passo 8
Agora avalio
e
no ponto
e
.
- Primeiro calculo o argumento
em :
- Avalio a velocidade transversal:
Sabendo
, obtemos
Substituindo
e
:
Uma forma mais compacta é reconhecer
, então
O sinal positivo indica que, no instante
, o ponto em
está se deslocando na direção positiva do eixo transversal (por exemplo, “para cima”).
Passo 9
Avalio a aceleração transversal no mesmo ponto/instante.
- Temos
Como
, segue que
Interpretação rápida: naquele instante o ponto tem velocidade máxima (não mudando instantaneamente, derivada da velocidade é zero), por isso a aceleração é zero — isso bate com a física de um movimento harmônico: quando a velocidade é máxima, a aceleração passa por zero.