1. Uma onda transversal em uma corda tem frequência de 2,5 \mathrm{~Hz} e uma amplitude de 0.05 m . A corda possui uma densidade linear de 50 \mathrm{~g} / \mathrm{m} e está esticada a uma tensão de 5 N . Determine a posição genérica \mathrm{Y}(\mathrm{x}, \mathrm{t}), suponha que \mathrm{x}=0 em \mathrm{t}=0. Determine a velocidade transversal e aceleração transversal de um ponto da corda localizado em \mathrm{x}=2 \mathrm{~m} para \mathrm{t}=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar a expressão genérica da posição transversal \mathrm{Y}(\mathrm{x},\mathrm{t}) para a onda na corda, usando as condições dadas.
  • Calcular a velocidade transversal e a aceleração transversal de um ponto da corda localizado em \mathrm{x}=2\\ \mathrm{m} no instante \mathrm{t}=0.
Informações fornecidas (vou listar todas para não nos perder):
  • frequência: f=2{,}5\\ \mathrm{Hz}.
  • amplitude: A=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • densidade linear: 50\\ \mathrm{g/m} (vou converter para unidades SI abaixo).
  • tensão na corda: T=5\\ \mathrm{N}.
  • condição adicional do enunciado: "suponha que \mathrm{x}=0 em \mathrm{t}=0". Vou interpretar isto como escolher a fase tal que a função de onda tenha fase zero em x=0,\;t=0 (ou seja, colocamos \varphi=0 na forma padrão da onda). Não há outras informações sobre deslocamento inicial, então essa escolha é razoável e simples.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Primeiro converto a densidade linear para o SI e calculo a velocidade de propagação da onda na corda.
  • A densidade linear dada é 50\\ \mathrm{g/m}. Convertemos para \mathrm{kg/m}:
\mu=50\\ \mathrm{g/m}=0{,}05\\ \mathrm{kg/m}.
  • A velocidade de propagação v de uma onda transversal em uma corda é dada pela relação (fórmula fundamental que vem da dinâmica da corda):
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Aqui T é a tensão da corda (em newtons) e \mu é a densidade linear (em \mathrm{kg/m}). A ideia física: quanto maior a tensão, mais rápida a onda; quanto maior a massa por metro, mais lenta a onda — simples e intuitivo.
  • Substituindo os valores:
v=\sqrt{\frac{5}{0{,}05}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calculo a frequência angular \omega e o número de onda k, que aparecem na forma padrão da onda.
  • A frequência f está dada; a frequência angular \omega é
\omega=2\pi f.
Isto porque em uma oscilação harmônica a relação entre frequência em hertz e frequência angular é \omega=2\pi f. Aqui cada ciclo corresponde a 2\pi radianos.
  • Substituindo:
\omega=2\pi\cdot 2{,}5=5\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • O número de onda k está ligado à velocidade e à frequência angular pela relação
k=\frac{\omega}{v}.
Também podemos lembrar k=\frac{2\pi}{\lambda}, onde \lambda é o comprimento de onda, e a relação v=\lambda f dá a mesma conexão.
  • Substituindo:
k=\frac{5\pi}{10}=\frac{\pi}{2}\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 4

Agora escrevo a forma genérica da onda transversal. Para uma onda harmônica viajando ao longo do eixo x com amplitude A, número de onda k e frequência angular \omega, a forma usual (para onda viajando no sentido positivo de x) é:
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi).
Explicando cada símbolo:
  • y(x,t) é a posição transversal (deslocamento vertical) do ponto da corda que está no ponto x no instante t.
  • A é a amplitude máxima do deslocamento.
  • k é o número de onda, em \mathrm{rad/m}.
  • \omega é a frequência angular, em \mathrm{rad/s}.
  • \varphi é a fase inicial (constante), que determina deslocamentos iniciais.
A escolha do sinal no argumento kx-\omega t corresponde à onda viajando no sentido positivo de x. Poderíamos usar uma função cosseno em vez de seno; ambas são válidas com diferença de fase. Como o enunciado nos dá a convenção "suponha que x=0 em t=0" e não dá deslocamento inicial específico, escolhemos \varphi=0 para simplificar — isto garante que y(0,0)=A\sin(0)=0. Essa escolha é comum e compatível com o enunciado.

Passo 5

Substituo os valores de A, k e \omega na expressão da onda para obter \mathrm{Y}(\mathrm{x},\mathrm{t}).
  • Temos A=0{,}05\\ \mathrm{m}, k=\dfrac{\pi}{2}\\ \mathrm{rad/m} e \omega=5\pi\\ \mathrm{rad/s}. Com \varphi=0,
\mathrm{Y}(\mathrm{x},\mathrm{t})=0{,}05\sin\!\left(\frac{\pi}{2}x-5\pi t\right).
Essa é a posição transversal genérica pedida. Confirma: em x=0,\\ t=0 y=0, e tem amplitude e frequência corretas.

Passo 6

Agora precisamos da velocidade transversal de um ponto da corda — isto é a derivada parcial de y(x,t) em relação ao tempo t, mantendo x fixo.
  • A definição: a velocidade transversal é
v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}(x,t).
  • Diferenciando a forma harmônica y(x,t)=A\sin(kx-\omega t) em relação a t, usando a regra da cadeia (derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'):
\frac{\partial}{\partial t}\sin(kx-\omega t)=\cos(kx-\omega t)\cdot(-\omega).
Portanto
v_y(x,t)=-A\omega\cos(kx-\omega t).
Explicando: o sinal menos aparece porque o argumento tem -\omega t; fisicamente, a máxima velocidade transversal tem magnitude A\omega.

Passo 7

Calculo a aceleração transversal, que é a segunda derivada temporal (derivada do v_y).
  • Definição:
a_y(x,t)=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}(x,t).
  • Derivando v_y(x,t)=-A\omega\cos(kx-\omega t) em relação a t:
\frac{\partial}{\partial t}\left[-A\omega\cos(kx-\omega t)\right] = -A\omega\cdot\left[-\sin(kx-\omega t)\cdot(-\omega)\right]
mais direto (evitando confusão de sinais): derivada de \cos(u) é -\sin(u)u', então
a_y(x,t)=-A\omega\cdot\left(-\sin(kx-\omega t)\cdot(-\omega)\right) = -A\omega^2\sin(kx-\omega t).
Mas é mais simples e comum escrever:
a_y(x,t)=-A\omega^2\sin(kx-\omega t).
Isto faz sentido: a aceleração é proporcional ao deslocamento y, com fator -\omega^2 (característica de movimentos harmônicos simples).

Passo 8

Agora avalio v_y e a_y no ponto \;x=2\\ \mathrm{m}\; e \;t=0.
  • Primeiro calculo o argumento kx-\omega t em x=2,\\ t=0:
kx-\omega t = k\cdot 2 - \omega\cdot 0 = 2k = 2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi.
  • Avalio a velocidade transversal:
v_y(2,0) = -A\omega\cos(\pi).
Sabendo \cos(\pi)=-1, obtemos
v_y(2,0) = -A\omega\cdot(-1)=A\omega.
Substituindo A=0{,}05 e \omega=5\pi:
v_y(2,0)=0{,}05\cdot 5\pi =0{,}25\pi\\ \mathrm{m/s}.
Uma forma mais compacta é reconhecer 0{,}25\pi=\dfrac{\pi}{4}, então
v_y(2,0)=\frac{\pi}{4}\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}7854\\ \mathrm{m/s}.
O sinal positivo indica que, no instante t=0, o ponto em x=2 está se deslocando na direção positiva do eixo transversal (por exemplo, “para cima”).

Passo 9

Avalio a aceleração transversal no mesmo ponto/instante.
  • Temos
a_y(2,0)=-A\omega^2\sin(\pi).
Como \sin(\pi)=0, segue que
a_y(2,0)=0\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretação rápida: naquele instante o ponto tem velocidade máxima (não mudando instantaneamente, derivada da velocidade é zero), por isso a aceleração é zero — isso bate com a física de um movimento harmônico: quando a velocidade é máxima, a aceleração passa por zero.

Resposta

\mathrm{Y}(\mathrm{x},\mathrm{t})=0{,}05\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}x-5\pi t\right)
v_y(2,0)=\dfrac{\pi}{4}\\ \mathrm{m/s}\\ \approx 0{,}7854\\ \mathrm{m/s}
a_y(2,0)=0\\ \mathrm{m/s^2}

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