Lista de exercicios - Posição e deslocamento, velocidade média e instantânea
) A posição de um elétron é dada por
com tem segundos e
em metros.
Calcule:
(a) a velocidade
do elétron na notação de vetores unitários.
(b) quanto vale
no instante
(na notação de vetores unitários).
(c) o módulo de
instante.
(d) o ângulo que
forma com o sentido positivo do eixo
nesse instante (expresse em graus).
Calcule:
(a) a velocidade
(b) quanto vale
(c) o módulo de
(d) o ângulo que
Passo 1
O enunciado dá a posição do elétron e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
- A posição é
onde
está em segundos e
em metros.
O que o exercício pede:
(a) calcular a velocidade na notação de vetores unitários;
(b) calcular no instante
(vetores unitários);
(c) calcular o módulo de nesse instante;
(d) determinar o ângulo que forma com o sentido positivo do eixo
nesse instante (em graus).
(a) calcular a velocidade
(b) calcular
(c) calcular o módulo de
(d) determinar o ângulo que
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (explicação didática): a velocidade vetorial é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que derivamos componente a componente. Regras rápidas de derivação que usamos aqui:
- A derivada de
em relação a é . (Ex.: .) - A derivada de
é . (Ex.: .) - A derivada de uma constante é zero. (Ex.:
.)
Derivando componente a componente, obtemos a velocidade.
Passo 3
Derivando
componente a componente:
- Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
Portanto a velocidade geral é
Passo 4
Resposta do item (a) — escrevendo de forma limpa:
Passo 5
Item (b): avaliar
em
. Substituindo
:
-
. -
. -
.
Assim
Passo 6
Item (c): calcular o módulo (norma) de
. Método: o módulo de um vetor
é
Aplicando aos valores:
Calcule passo a passo:
Passo 7
Item (d): ângulo entre
e o sentido positivo do eixo
.
Fórmula (explicada): o cosseno do ângulo
entre dois vetores
e
é dado por
onde
é o produto escalar. Para o eixo
usamos o vetor unitário
com norma
. Então
Aqui
e
. Logo
Agora
. Convertendo para graus:
Observação sobre orientação: a componente
é negativa, então o vetor está abaixo do eixo
; o ângulo entre o vetor e o sentido positivo do eixo
(medido como menor ângulo) é
. Se preferir um ângulo com sinal contado no sentido anti-horário a partir do eixo
, seria
(porque o desvio é para baixo).
Resposta
(a)
.
(b) .
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)