Lista de exercicios - Posição e deslocamento, velocidade média e instantânea
6^{\circ} ) A posição de um elétron é dada por
\vec{r}(t)=2,50 t \hat{\imath}-3,00 t^{2} \hat{\jmath}+1,50 \hat{k}
com tem segundos e \vec{r} em metros.
Calcule:
(a) a velocidade \vec{v}(t) do elétron na notação de vetores unitários.
(b) quanto vale \vec{v}(t) no instante t=2,00 \mathrm{~s} (na notação de vetores unitários).
(c) o módulo de \vec{v} n e s s e instante.
(d) o ângulo que \vec{v} forma com o sentido positivo do eixo x nesse instante (expresse em graus).

Passo 1

O enunciado dá a posição do elétron e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
  • A posição é
\vec{r}(t)=2,50\,t\,\hat{\imath}-3,00\,t^{2}\,\hat{\jmath}+1,50\,\hat{k},
onde t está em segundos e \vec{r} em metros.
O que o exercício pede:
(a) calcular a velocidade \vec{v}(t) na notação de vetores unitários;
(b) calcular \vec{v}(t) no instante t=2,00\\ \mathrm{s} (vetores unitários);
(c) calcular o módulo de \vec{v} nesse instante;
(d) determinar o ângulo que \vec{v} forma com o sentido positivo do eixo x nesse instante (em graus).

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (explicação didática): a velocidade vetorial é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que derivamos componente a componente. Regras rápidas de derivação que usamos aqui:
  • A derivada de a\,t em relação a t é a. (Ex.: \dfrac{d}{dt}(2,50\,t)=2,50.)
  • A derivada de b\,t^{2} é 2b\,t. (Ex.: \dfrac{d}{dt}(-3,00\,t^{2})=-6,00\,t.)
  • A derivada de uma constante é zero. (Ex.: \dfrac{d}{dt}(1,50)=0.)
Derivando componente a componente, obtemos a velocidade.

Passo 3

Derivando \vec{r}(t) componente a componente:
  • Componente x: \dfrac{d}{dt}\big(2,50\,t\big)=2,50.
  • Componente y: \dfrac{d}{dt}\big(-3,00\,t^{2}\big)=-6,00\,t.
  • Componente z: \dfrac{d}{dt}\big(1,50\big)=0.
Portanto a velocidade geral é
\vec{v}(t)=2,50\,\hat{\imath}-6,00\,t\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}.

Passo 4

Resposta do item (a) — escrevendo de forma limpa:
\vec{v}(t)=2,50\,\hat{\imath}-6,00\,t\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}.

Passo 5

Item (b): avaliar \vec{v}(t) em t=2,00\\ \mathrm{s}. Substituindo t=2,00:
  • v_x=2,50\\ \mathrm{m/s}.
  • v_y=-6,00\times 2,00 = -12,00\\ \mathrm{m/s}.
  • v_z=0\\ \mathrm{m/s}.
Assim
\vec{v}(2,00)=2,50\,\hat{\imath}-12,00\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 6

Item (c): calcular o módulo (norma) de \vec{v}(2,00). Método: o módulo de um vetor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\lVert \vec{v}\rVert=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Aplicando aos valores:
\lVert \vec{v}(2,00)\rVert=\sqrt{(2,50)^{2}+(-12,00)^{2}+0^{2}}.
Calcule passo a passo:
(2,50)^{2}=6,25,\qquad (-12,00)^{2}=144,00,
6,25+144,00=150,25,
\lVert \vec{v}(2,00)\rVert=\sqrt{150,25}\approx 12,26\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Item (d): ângulo entre \vec{v}(2,00) e o sentido positivo do eixo x.
Fórmula (explicada): o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores \vec{a} e \vec{b} é dado por
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\lVert\vec{a}\rVert\lVert\vec{b}\rVert},
onde \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar. Para o eixo x usamos o vetor unitário \hat{\imath} com norma 1. Então
\cos\theta=\frac{\vec{v}\cdot\hat{\imath}}{\lVert\vec{v}\rVert}=\frac{v_x}{\lVert\vec{v}\rVert}.
Aqui v_x=2,50 e \lVert\vec{v}\rVert\approx 12,26. Logo
\cos\theta=\frac{2,50}{12,26}\approx 0,2040.
Agora \theta=\operatorname{arccos}(0,2040). Convertendo para graus:
\theta\approx 78,2^\circ.
Observação sobre orientação: a componente v_y é negativa, então o vetor está abaixo do eixo x; o ângulo entre o vetor e o sentido positivo do eixo x (medido como menor ângulo) é 78,2^\circ. Se preferir um ângulo com sinal contado no sentido anti-horário a partir do eixo x, seria -78,2^\circ (porque o desvio é para baixo).

Resposta

(a) \vec{v}(t)=2,50\,\hat{\imath}-6,00\,t\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}.
(b) \vec{v}(2,00)=2,50\,\hat{\imath}-12,00\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}\\ \mathrm{(m/s)}.
(c) \lVert \vec{v}(2,00)\rVert\approx 12,26\\ \mathrm{m/s}.
(d) \theta\approx 78,2^\circ

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