Lista de exercicios - Posição e deslocamento, velocidade média e instantânea
50) Um trem com velocidade constante de 72,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h} desloca-se inicialmente na direção norte por 30,0 \mathrm{~min}, depois segue em uma direção que forma um ângulo de 40,0^{\circ} ao norte do leste por 25,0 min, e por fim desloca-se na direção sul por mais 35,0 min. Quais são:
(a) o módulo da velocidade média do trem durante toda a viagem?
(b) o ângulo da velocidade média em relação ao eixo leste?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade constante do trem: \;v=72{,}0\\ \mathrm{km/h}.
    • Primeiro trecho: direção norte, duração \;30{,}0\\ \mathrm{min}.
    • Segundo trecho: direção a 40{,}0^\circ ao norte do leste, duração \;25{,}0\\ \mathrm{min}.
    • Terceiro trecho: direção sul, duração \;35{,}0\\ \mathrm{min}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) o módulo da velocidade média do trem durante toda a viagem;
    (b) o ângulo da velocidade média em relação ao eixo leste (indicar se é ao norte ou ao sul do leste).

Passo 2

Definições e escolha de sistema de coordenadas — o básico que vamos usar.
  • Vou adotar um sistema cartesiano:
    • eixo x: positivo para o leste;
    • eixo y: positivo para o norte.
  • A velocidade média vetorial é definida por
\vec{v}_{\rm avg}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t},
onde \Delta\vec{r} é o deslocamento vetorial total e \Delta t é o tempo total da viagem.
  • Para obter a velocidade média em módulo e direção calculo primeiro o deslocamento total (somando vetorialmente os 3 trechos) e depois divido pelo tempo total.

Passo 3

Converter tempos para horas e calcular as distâncias percorridas em cada trecho.
  • Converter minutos em horas:
    • \;30{,}0\\ \mathrm{min}=30/60=0{,}5\\ \mathrm{h}.
    • \;25{,}0\\ \mathrm{min}=25/60=5/12\\ \mathrm{h}\approx0{,}4166667\\ \mathrm{h}.
    • \;35{,}0\\ \mathrm{min}=35/60=7/12\\ \mathrm{h}\approx0{,}5833333\\ \mathrm{h}.
  • Distâncias (porque d=v\cdot t):
    • Primeiro trecho (norte): \;d_1=72{,}0\cdot0{,}5=36{,}0\\ \mathrm{km}.
    • Segundo trecho (a 40{,}0^\circ N do leste): \;d_2=72{,}0\cdot\frac{5}{12}=30{,}0\\ \mathrm{km}.
    • Terceiro trecho (sul): \;d_3=72{,}0\cdot\frac{7}{12}=42{,}0\\ \mathrm{km}.

Passo 4

Decompor cada deslocamento em componentes x (leste) e y (norte).
  • Primeiro trecho (norte): movimento puramente em +y:
    • \;x_1=0,\qquad y_1=36{,}0\\ \mathrm{km}.
  • Segundo trecho ( 40{,}0^\circ ao norte do leste): usar trigonometria:
    • definição útil: para um vetor de magnitude d e ângulo \theta medido a partir do eixo x (leste), \;x=d\cos\theta,\; y=d\sin\theta.
    • Aqui \theta=40{,}0^\circ e d_2=30{,}0\\ \mathrm{km}, então
    x_2=30{,}0\cos40{,}0^\circ,\qquad y_2=30{,}0\sin40{,}0^\circ.
    • Usando \cos40{,}0^\circ\approx0{,}7660 e \sin40{,}0^\circ\approx0{,}6428:
    x_2\approx30{,}0\cdot0{,}7660=22{,}981\\ \mathrm{km}, \qquad y_2\approx30{,}0\cdot0{,}6428=19{,}284\\ \mathrm{km}.
  • Terceiro trecho (sul): movimento puramente em -y:
    • \;x_3=0,\qquad y_3=-42{,}0\\ \mathrm{km}.

Passo 5

Somar componentes para obter o deslocamento total \Delta\vec{r}.
  • Componente leste ( x ):
\Delta x = x_1+x_2+x_3 = 0 + 22{,}981 + 0 = 22{,}981\\ \mathrm{km}.
  • Componente norte ( y ):
\Delta y = y_1+y_2+y_3 = 36{,}0 + 19{,}284 - 42{,}0 = 13{,}284\\ \mathrm{km}.
(Arredondei os componentes para 3 casas decimais nas contas intermédias; mantém-se precisão suficiente.)

Passo 6

Calcular o módulo do deslocamento total e o tempo total.
  • Módulo do deslocamento:
\Delta r = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(22{,}981)^2 + (13{,}284)^2} \approx 26{,}55\\ \mathrm{km}.
  • Tempo total:
\Delta t = 30{,}0+25{,}0+35{,}0=90{,}0\\ \mathrm{min}=1{,}5\\ \mathrm{h}.

Passo 7

Calcular a velocidade média vetorial e extrair módulo e direção.
  • Módulo da velocidade média:
v_{\rm avg}=\frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{26{,}55\\ \mathrm{km}}{1{,}5\\ \mathrm{h}}\approx17{,}70\\ \mathrm{km/h}.
  • Ângulo em relação ao eixo leste:
\theta=\arctan\!\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right) =\arctan\!\left(\frac{13{,}284}{22{,}981}\right) \approx\arctan(0{,}5783)\approx30{,}0^\circ.
Interpretação: \theta\approx30{,}0^\circ ao norte do leste (porque \Delta y>0 e \Delta x>0).

Resposta

(a) 17{,}7\\ \mathrm{km/h}
(b) 30{,}0^\circ ao norte do leste

Exercícios relacionados