Uma gota “pendurada” na parte inferior de uma parede está recebendo liquido através de “canais” (também sustentados pelas forças de tensão superficial). Determine o diâmetro máximo que da gota antes de cair, considerando que a mesma mantém a sua forma semi-esférica.

Passo 1

O enunciado descreve uma gota semiesférica de diâmetro D presa na parte inferior de uma parede, sustentada pela força de tensão superficial ao redor da sua base. Para não cair, a força vertical total de tensão superficial deve equilibrar o peso da gota. Vamos usar: volume de semiesfera, peso \rho Vg e força de tensão superficial \gamma atuando ao longo do contorno de contato.

Passo 2

A semiesfera de raio R = D/2 tem volume
V = \frac{2}{3}\,\pi\,R^3 = \frac{2}{3}\,\pi\Bigl(\frac{D}{2}\Bigr)^3 = \frac{\pi\,D^3}{12}\,.

Passo 3

O peso da gota é
P = \rho\,V\,g = \rho\,\frac{\pi\,D^3}{12}\,g\,.

Passo 4

A tensão superficial age ao longo do perímetro da base circular de raio R. Como o comprimento desse contorno é 2\pi R = \pi D, a força total de tensão superficial é
F_{\text{ts}} = \gamma \times (\pi D) = \pi\,D\,\gamma.

Passo 5

No limite em que a gota está prestes a cair, equilibra-se
F_{\text{ts}} = P \;\Longrightarrow\; \pi\,D\,\gamma = \rho\,\frac{\pi\,D^3}{12}\,g \;\Longrightarrow\; \frac{\rho\,D^2\,g}{12} = \gamma.

Passo 6

Isolando D, obtemos
D^2 = \frac{12\,\gamma}{\rho\,g} \quad\Longrightarrow\quad D = \sqrt{\frac{12\,\gamma}{\rho\,g}}.

Resposta

O diâmetro máximo antes de a gota cair é
D_{\max} = \sqrt{\frac{12\,\gamma}{\rho\,g}}.

Exercícios relacionados