Sabe-se que,em condições normais de pressão e temperatura( \mathrm{CNTP} \Rightarrow \mathrm{T}=273.15 \mathrm{~K}, \mathrm{p}=1 \mathrm{~atm}=101325 \mathrm{~Pa} ), 1 mole de gás( 6 \times 10^{23} moléculas)ocupam aproximadamente 22,4 litros.Sabendo que,para baixas pressões,é possível considerar um comportamento de gás ideal cuja equação de estado é:
p V=n R_{O} T ; R_{O}=8314,34 \frac{\mathrm{~kJ}}{\mathrm{kgK}} ; n=\text { numero de moles }
Assumindo que,para que se cumpra a hipótese do contínuo é necessário,um número mínimo de(digamos) 1000 moléculas no volume de controle,determine:
a)O volume mínimo necessário para conter este número de moléculas em CNTP;
b)A pressão mínima à qual é possível considerar utilizar a hipótese do contínuo,considerando um volume mínimo do"ponto material"de 1 \mathrm{~mm}^{3}
c)O Volume do"ponto material"(que contêm 1000 moléculas)a uma pressão de 1 Pa ;

Passo 1

O enunciado pede para aplicar a equação de estado do gás ideal
pV = n R_0 T
em condições normais de pressão e temperatura (CNTP: T=273{,}15\\ \mathrm{K}, p=1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}), e adotar a hipótese do contínuo só se tivermos pelo menos 1000 moléculas dentro do volume de controle. Precisamos então calcular:
a) O volume mínimo que contenha 1000 moléculas em CNTP.
b) A pressão mínima para que um “ponto material” de volume 1\\ \mathrm{mm}^3 contenha sempre ≥1000 moléculas.
c) O volume de um ponto material (1000 moléculas) quando p=1\\ \mathrm{Pa}.

Passo 2

Determine o número de mols correspondente a 1000 moléculas:
n = \frac{1000}{N_A} \quad\text{com}\quad N_A = 6\times10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1} \;\Longrightarrow\; n = \frac{1000}{6\times10^{23}} = 1{,}667\times10^{-21}\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

(a) Volume mínimo em CNTP para abrigar essas 1000 moléculas.
Usando
V = \frac{n\,R_0\,T}{p},
com R_0 = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, T=273{,}15\\ \mathrm{K}, p=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}:
V = \frac{1{,}667\times10^{-21}\times8{,}314\times273{,}15}{1{,}01325\times10^{5}} =3{,}7\times10^{-23}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

(b) Pressão mínima para que um ponto material de V=1\\ \mathrm{mm}^3=1\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^3 contenha ≥1000 moléculas.
p_{\min} = \frac{n\,R_0\,T}{V} = \frac{1{,}667\times10^{-21}\times8{,}314\times273{,}15}{1\times10^{-9}} =3,8\times10^{-9}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

(c) Volume do ponto material (1000 moléculas) sob p=1\\ \mathrm{Pa}.
V = \frac{n\,R_0\,T}{p} = \frac{1{,}667\times10^{-21}\times8{,}314\times273{,}15}{1} =3,8\times10^{-18}\\ \mathrm{m}^3.

Resposta

a) V_{\min}=3,7\times10^{-23}\\ \mathrm{m}^3.
b) p_{\min}=3,8\times10^{-9}\\ \mathrm{Pa}.
c) V(p=1\\ \mathrm{Pa})=3,8\times10^{-18}\\ \mathrm{m}^3.

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