uma barra de Ti com 1,1 \mathrm{~cm} de diâmetro e 30 cm de comprimento tem um limite de escoamento de 50.000 psi e um Coeficiente de Poisson de 0,30 . Determine o comprimento e o diâmetro da barra quando uma Carga de 500 lb . é aplicada

Passo 1

O enunciado dá uma barra de titânio com diâmetro inicial D=1{,}1 cm e comprimento inicial L=30 cm sujeita a uma carga axial P=500 lb. O limite de escoamento é \sigma_y=50\,000 psi e o coeficiente de Poisson é \nu=0,30. Vamos tratar o regime elástico linear: calcular tensão, verificar \sigma<\sigma_y, depois usar o módulo de Young típico para titânio (aproximadamente E=16\times10^6 psi) para obter deformação axial e lateral.

Passo 2

Converter D e L para polegadas (já que \mathrm{psi}=\mathrm{lb}/\mathrm{in}^2).
D = \frac{1{,}1}{2{,}54} \approx 0{,}43307\\ \text{in},\quad L = \frac{30}{2{,}54} \approx 11{,}811\\ \text{in}.
Área da seção transversal:
A = \pi\Bigl(\frac{D}{2}\Bigr)^{2} = \pi\,(0,216535)^{2} \approx 0{,}1472\\ \text{in}^2.

Passo 3

Tensão axial:
\sigma = \frac{P}{A} = \frac{500}{0{,}1472} \approx 3\,395\\ \text{psi}.
Como 3\,395<50\,000, permanece no regime elástico.

Passo 4

Deformação axial:
\varepsilon_{\text{ax}} = \frac{\sigma}{E} = \frac{3\,395}{16\times10^{6}} \approx 2{,}122\times10^{-4}.

Passo 5

Alongamento:
\Delta L = \varepsilon_{\text{ax}}\;L = 2{,}122\times10^{-4}\times11{,}811 \approx 0{,}002506\\ \text{in} \approx 0{,}00637\\ \text{cm}.
Novo comprimento:
L' = 30{,}00000 + 0{,}00637 = 30{,}00637\\ \text{cm}.

Passo 6

Deformação lateral:
\varepsilon_{\text{lat}} = -\nu\,\varepsilon_{\text{ax}} = -0,30\times2{,}122\times10^{-4} \approx -6{,}366\times10^{-5}.
Variação de diâmetro:
\Delta D = \varepsilon_{\text{lat}}\;D_{\text{in}} = -6{,}366\times10^{-5}\times0{,}43307 \approx -2{,}758\times10^{-5}\\ \text{in} \approx -7{,}00\times10^{-5}\\ \text{cm}.
Novo diâmetro:
D' = 1{,}10000 - 0{,}00007 = 1{,}09993\\ \text{cm}.

Resposta

Comprimento final L'\approx30{,}0064 cm
Diâmetro final D'\approx1{,}0999 cm

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