Uma gota de tinta de massa m de 1,3 \times 10-^{10} \mathrm{~kg} e carga negativa \mathrm{q}=-1,5 \times 10^{-13} \mathrm{C} entra numa região entre duas placas paralelas movendo-se inicialmente ao longo do eixo x com velocidade v_{x}=18 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O comprimento L de cada placa é de 1,6 \mathrm{~cm}. As placas são carregadas e, assim, produzem um campo elétrico entre elas. Suponha que esse campo aponte para baixo, seja uniforme e possua magnitude 1,4 \times 10^{6} \mathrm{~N} / \mathrm{C}. Qual a deflexão vertical na gota na borda mais distante das placas? Qual a deflexão vertical na gota na borda mais distante das placas? Suponha que a força gravitacional seja pequena o suficiente para ser desprezada F_{e} \gg F_{g}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (todos os números abaixo foram retirados do enunciado).
  • Massa da gota: m=1{,}3\times10^{-10}\\ \mathrm{kg}.
  • Carga da gota: q=-1{,}5\times10^{-13}\\ \mathrm{C}.
  • Velocidade inicial ao entrar entre as placas (eixo x): v_x=18\\ \mathrm{m/s}.
  • Comprimento das placas na direção x: L=1{,}6\\ \mathrm{cm}=0{,}016\\ \mathrm{m}.
  • Campo elétrico entre as placas (uniforme), apontando para baixo, de magnitude E=1{,}4\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
  • Desprezar a gravidade ( F_e\gg F_g).
O enunciado pede: qual é a deflexão vertical da gota na borda mais distante das placas (ou seja, a deflexão vertical quando ela sai das placas)?

Passo 2

Entender a força elétrica que age na gota e sua direção.
  • A força elétrica sobre uma carga q num campo elétrico \mathbf{E} é dada por
\mathbf{F}=q\,\mathbf{E}.
Aqui \mathbf{E} aponta para baixo. Como q é negativo, o produto q\mathbf{E} terá direção oposta à de \mathbf{E}: a força será para cima. Em módulo, a força vale
F=|q|\,E,
onde |q| é o valor absoluto da carga.

Passo 3

Calcular o módulo da força elétrica numérica.
  • Substituindo os valores:
F = |q|\,E = \left(1{,}5\times10^{-13}\right)\left(1{,}4\times10^{6}\right)\\ \mathrm{N}.
  • Fazer a conta:
F = 1{,}5\times1{,}4\times10^{-13+6} = 2{,}1\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.
Portanto a força elétrica tem módulo 2{,}1\times10^{-7}\\ \mathrm{N} e, conforme raciocínio anterior, aponta para cima.

Passo 4

Relacionar força com aceleração (segunda lei de Newton) e calcular a aceleração vertical.
  • A segunda lei de Newton diz
\mathbf{F}=m\,\mathbf{a}.
Tomando a componente vertical e usando a magnitude (como a força é vertical),
a=\frac{F}{m}.
  • Substituindo números:
a = \frac{2{,}1\times10^{-7}}{1{,}3\times10^{-10}}\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Calcular:
a = \frac{2{,}1}{1{,}3}\times10^{-7+10} = 1{,}615384615\ldots\times10^{3}\\ \mathrm{m/s^2}.
Arredondando razoavelmente,
a \approx 1{,}615\times10^{3}\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Calcular o tempo que a gota permanece entre as placas (tempo de voo na direção x).
  • A velocidade horizontal v_x é constante (campo não tem componente x e desprezamos resistência do ar). O tempo t para percorrer comprimento L é
t=\frac{L}{v_x}.
  • Substituindo:
t=\frac{0{,}016}{18}\\ \mathrm{s}=8{,}888\ldots\times10^{-4}\\ \mathrm{s}.
Ou seja,
t \approx 8{,}8889\times10^{-4}\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Usar cinemática para achar a deflexão vertical.
  • Para movimento com aceleração constante na direção y e velocidade inicial v_{0y}=0, a posição vertical y após tempo t é
y = v_{0y}\,t + \tfrac{1}{2} a t^2 = \tfrac{1}{2} a t^2.
  • Substituir a e t:
y = \tfrac{1}{2}\left(1{,}615384615\times10^{3}\right)\left(8{,}8889\times10^{-4}\right)^2\\ \mathrm{m}.
  • Calcular passo a passo:
t^2 = \left(8{,}8889\times10^{-4}\right)^2 = 7{,}901234568\times10^{-7}\\ \mathrm{s^2},
a\,t^2 = 1{,}615384615\times10^{3}\times7{,}901234568\times10^{-7} = 1{,}2769230769\times10^{-3},
y = \tfrac{1}{2}\times1{,}2769230769\times10^{-3} = 6{,}3846153845\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Em unidades mais familiares:
y \approx 6{,}38\times10^{-4}\\ \mathrm{m} = 0{,}638\\ \mathrm{mm}.
  • Direção: positiva para cima (a gota é desviada para cima porque a carga é negativa e o campo aponta para baixo).

Passo 7

Verificação rápida de consistência e comentário encorajador.
  • A deflexão é pequena (ordem de submilímetro), coerente com tempos curtos no interior das placas. A aproximação de desprezar a gravidade é justificada pela afirmação do enunciado e pela magnitude da aceleração a (muito maior do que g neste curto intervalo de tempo).
  • Bom trabalho até aqui — tudo que fizemos são fórmulas simples que caem sempre em prova: calcule a força qE, a aceleração F/m, o tempo pelo comprimento/velocidade, e então aplique y=\tfrac12 a t^2.

Resposta

y \approx 6{,}38\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (a gota é desviada para cima, aproximadamente 0{,}638\\ \mathrm{mm}).

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