O governo coleta uma amostra de 400 estudantes da UFSC para obter uma indicação dos que são a favor do ensino superior pago. Determine a probabilidade de obter uma proporção amostral que difira em mais de três pontos percentuais da proporção populacional de estudantes que são a favor do ensino pago. supondo que esta proporção é de 0.10 .
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a proporção amostral difira em mais de três pontos percentuais da proporção populacional, dado que a proporção populacional é
e a amostra tem tamanho
.
Informações dadas e o que precisa ser calculado:
Informações dadas e o que precisa ser calculado:
-
(proporção populacional assumida). -
(tamanho da amostra). - Queremos
, onde representa três pontos percentuais.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando tiramos uma amostra grande de uma população com proporção , a variável aleatória que representa a proporção amostral
tem média igual à verdadeira proporção
e variância igual a
. Ou seja:
Quando tiramos uma amostra grande de uma população com proporção
O desvio padrão da proporção amostral (chamado erro padrão) é
Para amostras grandes (condição prática:
e
), a distribuição de
pode ser aproximada por uma normal com média
e desvio padrão acima. Essa aproximação nos permite usar a normal padrão
para calcular probabilidades. Aqui
e
, ambos grandes, então a aproximação é válida.
Passo 3
Calcular o erro padrão numericamente (passo a passo):
Passo 4
Expressar o evento pedido em termos da normal padrão e padronizar:
Queremos
Queremos
Padronizando com
temos
Calculemos o valor crítico:
Passo 5
Usar a tabela da normal padrão (ou calculadora) para obter a probabilidade de
ultrapassar
:
Seja a função de distribuição da normal padrão. Sabemos que
. Portanto a cauda à direita é
Seja
Como é um evento com as duas caudas (diferença em mais de
para cima ou para baixo), multiplicamos por 2:
Em porcentagem, isso equivale a aproximadamente
.