O governo coleta uma amostra de 400 estudantes da UFSC para obter uma indicação dos que são a favor do ensino superior pago. Determine a probabilidade de obter uma proporção amostral que difira em mais de três pontos percentuais da proporção populacional de estudantes que são a favor do ensino pago. supondo que esta proporção é de 0.10 .

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a proporção amostral difira em mais de três pontos percentuais da proporção populacional, dado que a proporção populacional é p=0,10 e a amostra tem tamanho n=400.
Informações dadas e o que precisa ser calculado:
  • p=0,10 (proporção populacional assumida).
  • n=400 (tamanho da amostra).
  • Queremos P\bigl(|\hat{p}-p|>0,03\bigr), onde 0,03 representa três pontos percentuais.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando tiramos uma amostra grande de uma população com proporção p, a variável aleatória que representa a proporção amostral \hat{p} tem média igual à verdadeira proporção p e variância igual a \dfrac{p(1-p)}{n}. Ou seja:
\mathbb{E}(\hat{p})=p,\qquad \operatorname{Var}(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}.
O desvio padrão da proporção amostral (chamado erro padrão) é
\text{EP}(\hat{p})=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
Para amostras grandes (condição prática: np\ge 10 e n(1-p)\ge 10), a distribuição de \hat{p} pode ser aproximada por uma normal com média p e desvio padrão acima. Essa aproximação nos permite usar a normal padrão Z para calcular probabilidades. Aqui np=400\cdot0,10=40 e n(1-p)=360, ambos grandes, então a aproximação é válida.

Passo 3

Calcular o erro padrão numericamente (passo a passo):
p(1-p)=0,10\cdot 0,90=0,09.
\frac{p(1-p)}{n}=\frac{0,09}{400}=0,000225.
\text{EP}(\hat{p})=\sqrt{0,000225}=0,015.

Passo 4

Expressar o evento pedido em termos da normal padrão e padronizar:
Queremos
P\bigl(|\hat{p}-p|>0,03\bigr)=P\Bigl(\hat{p}-p>0,03\\ \text{ou}\\ \hat{p}-p<-0,03\Bigr).
Padronizando com Z=\dfrac{\hat{p}-p}{\text{EP}(\hat{p})} temos
P\bigl(|\hat{p}-p|>0,03\bigr)=P\left(|Z|>\frac{0,03}{0,015}\right).
Calculemos o valor crítico:
\frac{0,03}{0,015}=2.

Passo 5

Usar a tabela da normal padrão (ou calculadora) para obter a probabilidade de Z ultrapassar 2:
Seja \Phi(z) a função de distribuição da normal padrão. Sabemos que \Phi(2)\approx 0,97725. Portanto a cauda à direita é
P(Z>2)=1-\Phi(2)\approx 1-0,97725=0,02275.
Como é um evento com as duas caudas (diferença em mais de 0,03 para cima ou para baixo), multiplicamos por 2:
P\bigl(|\hat{p}-p|>0,03\bigr)=2\cdot 0,02275=0,0455.
Em porcentagem, isso equivale a aproximadamente 4,55\%.

Resposta

0,0455 (aproximadamente 4,55\%)

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