Uma cadeia de lojas de vídeo vende três marcas diferentes de videocassetes. Dessas vendas, 50 \% são da marca A, 30 \% da marca B e 20 \% da marca C. Cada fabricante oferece um ano de garantia para peças e mão-de-obra. É sabido que o 25 \% da marca A necessitam de reparos de garantia, enquanto as marcas B e C são de 20 \% e 10 \%, respectivamente.
a) Qual é a probabilidade de que um comprador selecionado aleatoriamente compre um videocassete da marca A que precise de reparo durante a garantia?
b) Se um cliente voltar à loja com um videocassete que precise de reparos em garantia, qual é a probabilidade de ele ser um comprador da marca A ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas.
Informações (peguei os números do enunciado):
P(A)=0{,}5,\quad P(B)=0{,}3,\quad P\text{(C)}=0{,}2
P(R\mid A)=0{,}25,\quad P(R\mid B)=0{,}20,\quad P(R\mid C)=0{,}10
onde R é o evento “o videocassete precisa de reparo durante a garantia”.
Perguntas:
a) Qual é a probabilidade de que um comprador selecionado aleatoriamente compre um videocassete da marca A que precise de reparo durante a garantia? (ou seja, P(A\cap R))
b) Se um cliente voltar com um videocassete que precise de reparos na garantia, qual é a probabilidade de ele ser da marca A? (ou seja, P(A\mid R))

Passo 2

Entendendo o que significa P(A\cap R) e como calculá-la (necessário para a parte a).
Explicação didática: P(A\cap R) é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente dois acontecimentos: “comprou marca A” e “precisa de reparo”. A regra que usamos é a regra da multiplicação para probabilidades condicionais:
P(A\cap R)=P(A)\cdot P(R\mid A).
Aqui P(R\mid A) significa “a probabilidade de precisar de reparo dado que o videocassete é da marca A”. A multiplicação faz sentido porque primeiro escolhemos um comprador da marca A com probabilidade P(A) e, dentre esses, a fração P(R\mid A) precisará de reparo.

Passo 3

Aplicando a fórmula para responder a parte a).
Cálculo passo a passo:
P(A\cap R)=P(A)\cdot P(R\mid A)=0{,}5\times0{,}25.
Multiplicando:
0{,}5\times0{,}25=0{,}125.
Interpretação numérica: 0{,}125 corresponde a 12{,}5\%. Logo a probabilidade pedida na letra (a) é 0{,}125 (ou 12{,}5\%).

Passo 4

Para a parte b) precisamos calcular P(A\mid R). Isso é um problema de probabilidade inversa — dado que ocorreu R, qual a probabilidade de ter vindo de A? A ferramenta natural aqui é o Teorema de Bayes, que usa a probabilidade total de R.
Primeiro encontramos P(R) usando a lei da probabilidade total:
P(R)=P(A)P(R\mid A)+P(B)P(R\mid B)+P\text{(C)}P(R\mid C).
Isso soma as contribuições de cada marca para o evento “precisar de reparo”.

Passo 5

Calculemos P(R) passo a passo:
Produtos parciais:
P(A)P(R\mid A)=0{,}5\times0{,}25=0{,}125,
P(B)P(R\mid B)=0{,}3\times0{,}20=0{,}06,
P\text{(C)}P(R\mid C)=0{,}2\times0{,}10=0{,}02.
Somando:
P(R)=0{,}125+0{,}06+0{,}02=0{,}205.
Interpretação: P(R)=0{,}205 corresponde a 20{,}5\%.

Passo 6

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para achar P(A\mid R):
P(A\mid R)=\frac{P(A\cap R)}{P(R)}=\frac{P(A)P(R\mid A)}{P(R)}.
Substituindo os números já calculados:
P(A\mid R)=\frac{0{,}125}{0{,}205}.
Podemos simplificar essa fração: 0{,}125=\dfrac{1}{8} e 0{,}205=\dfrac{41}{200}, então
\frac{0{,}125}{0{,}205}=\frac{1/8}{41/200}=\frac{200}{8\cdot41}=\frac{25}{41}.
Como decimal:
\frac{25}{41}\approx0{,}609756\ldots\approx0{,}6098.
Em porcentagem isso é aproximadamente 60{,}98\%, que podemos arredondar para 61\% se for conveniente. Interpretação: de todos os videocassetes que voltam com defeito na garantia, cerca de 61\% são da marca A.

Resposta

P(A\cap R)=0{,}125=12{,}5\%
P(A\mid R)=\dfrac{25}{41}\approx0{,}6098\approx60{,}98\%

Exercícios relacionados