Uma cadeia de lojas de vídeo vende três marcas diferentes de videocassetes. Dessas vendas,
são da marca
da marca
e
da marca
. Cada fabricante oferece um ano de garantia para peças e mão-de-obra. É sabido que o
da marca
necessitam de reparos de garantia, enquanto as marcas
e
são de
e
, respectivamente.
a) Qual é a probabilidade de que um comprador selecionado aleatoriamente compre um videocassete da marca
que precise de reparo durante a garantia?
b) Se um cliente voltar à loja com um videocassete que precise de reparos em garantia, qual é a probabilidade de ele ser um comprador da marca
?
a) Qual é a probabilidade de que um comprador selecionado aleatoriamente compre um videocassete da marca
b) Se um cliente voltar à loja com um videocassete que precise de reparos em garantia, qual é a probabilidade de ele ser um comprador da marca
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas.
Informações (peguei os números do enunciado):
onde
é o evento “o videocassete precisa de reparo durante a garantia”.
Perguntas:
a) Qual é a probabilidade de que um comprador selecionado aleatoriamente compre um videocassete da marca que precise de reparo durante a garantia? (ou seja,
)
b) Se um cliente voltar com um videocassete que precise de reparos na garantia, qual é a probabilidade de ele ser da marca ? (ou seja,
)
a) Qual é a probabilidade de que um comprador selecionado aleatoriamente compre um videocassete da marca
b) Se um cliente voltar com um videocassete que precise de reparos na garantia, qual é a probabilidade de ele ser da marca
Passo 2
Entendendo o que significa
e como calculá-la (necessário para a parte a).
Explicação didática:
é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente dois acontecimentos: “comprou marca
” e “precisa de reparo”. A regra que usamos é a regra da multiplicação para probabilidades condicionais:
Aqui
significa “a probabilidade de precisar de reparo dado que o videocassete é da marca
”. A multiplicação faz sentido porque primeiro escolhemos um comprador da marca
com probabilidade
e, dentre esses, a fração
precisará de reparo.
Passo 3
Aplicando a fórmula para responder a parte a).
Cálculo passo a passo:
Multiplicando:
Interpretação numérica:
corresponde a
. Logo a probabilidade pedida na letra (a) é
(ou
).
Passo 4
Para a parte b) precisamos calcular
. Isso é um problema de probabilidade inversa — dado que ocorreu
, qual a probabilidade de ter vindo de
? A ferramenta natural aqui é o Teorema de Bayes, que usa a probabilidade total de
.
Primeiro encontramos
usando a lei da probabilidade total:
Isso soma as contribuições de cada marca para o evento “precisar de reparo”.
Passo 5
Calculemos
passo a passo:
Produtos parciais:
Somando:
Interpretação:
corresponde a
.
Passo 6
Agora aplicamos o Teorema de Bayes para achar
:
Substituindo os números já calculados:
Podemos simplificar essa fração:
e
, então
Como decimal:
Em porcentagem isso é aproximadamente
, que podemos arredondar para
se for conveniente. Interpretação: de todos os videocassetes que voltam com defeito na garantia, cerca de
são da marca
.