Gradiente em coordenadas curvilíneas. (b) Derive, a partir das derivadas direcionais apropriadas, as expressões para o gradiente de um campo escalar em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para a gente derivar a fórmula do gradiente de um campo escalar em coordenadas esféricas, usando as derivadas direcionais.
Conteúdo: gradiente em coordenadas curvilíneas / escalares.
O que precisaremos:
  • Definir o deslocamento infinitesimal em esféricas:
    .
  • Entender derivada direcional: .
  • Encontrar, para cada direção unitária , quanto vale .

Passo 2

Primeiro, lembrando a derivada direcional:
Duf = limsto0f(r+s,u)-f(r)s = nabla fcdot u
Então, se eu escolher Derf =f(r+De, vou deslocar só em direção radial, com nabla fcdoter = partial fpartial r , mantendo fixos. Nesse caso:
Logo

Passo 3

Agora para Dethetaf =limsto0f(r,theta+De. Ao variar Dethetaf =partial f/partialthetar de nabla fcdotetheta = 1r,partial fpartialtheta com fixos, o deslocamento real na posição é .
Então a derivada direcional é
mas . Logo
E como , temos

Passo 4

Para Devarphif =partial f/partialvarphirsintheta, , varia-se nabla fcdotevarphi =1rsintheta,partial fpartialvarphi com fixos. O deslocamento é .
Analogamente:
portanto

Passo 5

Juntando tudo, lembrando que em qualquer base ortonormal
boxed nabla f = partial fpartial r,er + 1r,partial fpartial theta,etheta + 1rsintheta,partial fpartial varphi,evarphi ,
a gente acha:

Resposta

.

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