Gradiente em coordenadas curvilíneas. (b) Derive, a partir das derivadas direcionais apropriadas, as expressões para o gradiente de um campo escalar em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para a gente derivar a fórmula do gradiente de um campo escalar
em coordenadas esféricas, usando as derivadas direcionais.
Conteúdo: gradiente em coordenadas curvilíneas / escalares.
O que precisaremos:
Conteúdo: gradiente em coordenadas curvilíneas / escalares.
O que precisaremos:
- Definir o deslocamento infinitesimal em esféricas:
. - Entender derivada direcional:
. - Encontrar, para cada direção unitária
, quanto vale .
Passo 2
Primeiro, lembrando a derivada direcional:
Então, se eu escolher
, vou deslocar só em direção radial, com
, mantendo
fixos. Nesse caso:
Logo
Passo 3
Agora para
. Ao variar
de
com
fixos, o deslocamento real na posição é
.
Então a derivada direcional é
Então a derivada direcional é
mas
. Logo
E como
, temos
Passo 4
Para
, varia-se
com
fixos. O deslocamento é
.
Analogamente:
Analogamente:
portanto
Passo 5
Juntando tudo, lembrando que em qualquer base ortonormal
,
a gente acha:
a gente acha: