Resolva a equação linear: t \dot{y}+t^{2} y=e^{-t^{2} / 2}.
(a) y=e^{-t^{4} / 2}(\ln |t|+c)
(b) y=2 e^{-t^{2} / 4}(\ln |t|+c)
(c) y=e^{-t^{2} / 2}(\ln |t|+c)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação linear de primeira ordem
t\,\dot y + t^{2}y = e^{-t^{2}/2},
que podemos escrever como
y' + P(t)\,y = Q(t).
O conteúdo é o método do fator integrante para equações lineares e precisaremos calcular esse fator e integrar.

Passo 2

Dividindo a equação por t (supondo t\neq0), obtemos a forma padrão
y' + t\,y = \frac{e^{-t^{2}/2}}{t}.
Aqui P(t)=t e Q(t)=t^{-1}e^{-t^{2}/2}.

Passo 3

O fator integrante \mu(t) é
\mu(t) = \exp\biggl(\int P(t)\,dt\biggr) = \exp\biggl(\int t\,dt\biggr) = e^{t^{2}/2}.
Multiplicando toda a equação padrão por \mu(t)
e^{t^{2}/2}y' + t\,e^{t^{2}/2}y = \frac{e^{t^{2}/2}e^{-t^{2}/2}}{t} = \frac1t,
e o lado esquerdo é \dfrac{d}{dt}\bigl(e^{t^{2}/2}y\bigr).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t^{2}/2}y\bigr) = \frac1t \quad\Longrightarrow\quad e^{t^{2}/2}y = \int \frac1t\,dt = \ln|t| + C.
Logo,
y = e^{-t^{2}/2}\bigl(\ln|t| + C\bigr).

Resposta

(c) y = e^{-t^{2}/2}(\ln|t| + C)

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