(gradiente perp curva de nível) Considere as funções f(x, y)=x^2+4 y^2-3 e r(t)=(2 cos t, sin t), t in[0,2 pi].
(e) Enuncie e demonstre um resultado sobre o ângulo entre os vetores r^prime(t) e nabla f(Pi) que obteve nos itens anteriores.

Passo 1

Neste exercício, temos a função de duas variáveis f(x,y)=x^2+4y^2-3 e a parametrização da curva , que, substituída em f, dá um valor constante (nível 1). O conteúdo aqui é o fato de que o gradiente de uma função é sempre perpendicular às suas curvas de nível. Para resolver, vamos usar a derivada de uma composição e a propriedade do produto escalar.

Passo 2

O resultado a enunciar é: o vetor tangente à curva de nível, dado por r'(t), é sempre perpendicular ao gradiente nabla f(Pi) no ponto Pi=r(t). Em termos de ângulo, isso significa que o ângulo entre r'(t) e nabla f(Pi) é 90^circ (ou pi/2 radianos).
Para demonstrar, observamos que, ao longo da curva, f(r(t)) é constante. De fato,
f(r(t))=(2cos t)^2+4(sin t)^2-3=4(cos^2 t+sin^2 t)-3=4-3=1

Passo 3

Como f(r(t))equiv1, sua derivada em relação a t é zero. Pelas regras de cálculo de derivada de composição,
ddtf(r(t))=nabla f(r(t))cdot r'(t)=0

Passo 4

O produto escalar nulo implica que nabla f(r(t)) é ortogonal a r'(t) em todo t.

Resposta

O vetor gradiente é perpendicular ao vetor tangente da curva de nível, logo o ângulo entre r'(t) e nabla f(Pi) é pi/2.

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