(gradiente
curva de nível) Considere as funções
e
.
(e) Enuncie e demonstre um resultado sobre o ângulo entre os vetores
e
que obteve nos itens anteriores.
(e) Enuncie e demonstre um resultado sobre o ângulo entre os vetores
Passo 1
Neste exercício, temos a função de duas variáveis
e a parametrização da curva , que, substituída em
, dá um valor constante (nível
). O conteúdo aqui é o fato de que o gradiente de uma função é sempre perpendicular às suas curvas de nível. Para resolver, vamos usar a derivada de uma composição e a propriedade do produto escalar.
Passo 2
O resultado a enunciar é: o vetor tangente à curva de nível, dado por
, é sempre perpendicular ao gradiente
no ponto
. Em termos de ângulo, isso significa que o ângulo entre
e
é
(ou
radianos).
Para demonstrar, observamos que, ao longo da curva, é constante. De fato,
Para demonstrar, observamos que, ao longo da curva,
Passo 3
Como
, sua derivada em relação a
é zero. Pelas regras de cálculo de derivada de composição,
Passo 4
O produto escalar nulo implica que
é ortogonal a
em todo
.
Resposta
O vetor gradiente é perpendicular ao vetor tangente da curva de nível, logo o ângulo entre
e
é
.