Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial:
f^prime prime(x)=7 x, f^prime(1)=-1 e f(1)=10

Passo 1

A questão pede pra resolver o Problema de Valor Inicial onde a segunda derivada de uma função é dada por f''(x)=7x, e temos as condições f'(1)=-1 e f(1)=10. O conteúdo aqui é integração de derivadas sucessivas para recuperar a função original e determinar constantes de integração.

Passo 2

Para recuperar f'(x), integramos a equação f''(x)=7x. Usando a regra de potência na integral, temos:
f'(x)=integral 7x,dx=7cdotx^22+C1=72x^2+C1

Passo 3

Agora aplicamos a condição inicial em f'. Como f'(1)=-1, substituímos na expressão obtida:
-1=f'(1)=72cdot1^2+C1=72+C1
Resolvendo para C1:
C1=-1-72=-92

Passo 4

Com C1 encontrado, escrevemos f'(x) e integramos de novo para achar f(x):
f'(x)=72x^2-92,
f(x)=integrall(72x^2-92r)dx=72cdotx^33-92x+C2=76x^3-92x+C2

Passo 5

Usamos agora f(1)=10 para determinar C2. Substituindo:
10=f(1)=76cdot1^3-92cdot1+C2=76-92+C2
Como 76-92=7-276=-206=-103, temos
-103+C2=10Longrightarrow C2=10+103=403

Resposta

f(x)=76x^3-92x+403

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