Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial:
f^prime prime(x)=5 e^x, f^prime(0)=3 e f(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI f''(x)=5e^x, com condições iniciais f'(0)=3 e f(0)=5. O conteúdo da matéria é a solução de EDO de segunda ordem por quadraturas: vamos integrar duas vezes e usar as condições para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos f''(x)=5e^x para obter f'(x):
f'(x)=integral 5e^x,dx = 5e^x + C1
Agora aplicamos a condição f'(0)=3:
f'(0)=5e^0 + C1 = 5 + C1 = 3 implies C1 = -2
Então
f'(x)=5e^x - 2

Passo 3

Com f'(x)=5e^x - 2, integramos novamente para achar f(x):
f(x)=integral(5e^x - 2),dx = 5e^x - 2x + C2
Aplicando a condição f(0)=5:
f(0)=5e^0 - 2cdot0 + C2 = 5 + C2 = 5 implies C2 = 0

Passo 4

Com isso, a solução final do PVI é obtida.

Resposta

f(x)=5e^x - 2x

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