Questão 3: A desidratação de maçãs é amplamente utilizada na indústria alimentícia para produção de snacks, redução de volume para transporte, aumento de vida de prateleira e criação de ingredientes estáveis para cereais, mixes secos e produtos instantâneos. Maçãs frescas possuem tipicamente
de umidade em base úmida. O aluno Eduardo preparou um cilindro de maçã com
de espessura e 4 cm de diâmetro. Selou a superfície lateral (borda do cilindro) e submeteu as duas faces planas à secagem convectiva em estufa a
, condição que permite considerar desprezível a resistência externa e assumir umidade superficial constante. Após
de secagem, o teor de umidade medido no centro do disco caiu para
.
a) Ajude o Eduardo a determinar o coeficiente de diusividade da maçã, um parâmetro fundamental para modelagem de secagem e otimização de processos industriais (
).
b) O USDA (Departamento de Agricultura dos EUA) estabelece que para maçãs desidratadas de Grau B, o teor de umidade não deve ser superior a
em peso, para garantir uma textura razoavelmente boa. Qual o tempo necessário para a secagem do Eduardo atingir esta determinação
.
a) Ajude o Eduardo a determinar o coeficiente de diusividade da maçã, um parâmetro fundamental para modelagem de secagem e otimização de processos industriais (
b) O USDA (Departamento de Agricultura dos EUA) estabelece que para maçãs desidratadas de Grau B, o teor de umidade não deve ser superior a
Passo 1
O enunciado dá estes dados e pede duas coisas (peguei todos os números do enunciado):
- Espessura do disco de maçã:
. As duas faces planas são expostas à secagem; a lateral está selada. - Portanto a difusão é essencialmente unidimensional através da espessura. Adota-se meia-espessura (do centro até a superfície)
- Umidade inicial (base úmida):
(ou em fração). - Após
o teor de umidade no centro caiu para (ou em fração). - Condição de contorno: resistência externa desprezível e umidade superficial constante (valor da superfície dado pela condição de secagem).
- (a) Determinar o coeficiente de difusividade efetiva
da maçã. - (b) Determinar o tempo necessário para que o centro atinja
(ou em fração).
Observação: todas as contas com unidades SI serão apresentadas (conversão de cm para m quando for o caso).
Passo 2
Qual modelo físico vamos usar (sem resolver ainda): difusão transiente unidimensional em uma placa (slab) de meia-espessura
, com condição de contorno de concentração (umidade) constante na superfície. A solução analítica conhecida para a fração adimensional de umidade no centro é (série de Fourier):
onde:
-
é o teor de umidade no centro no tempo , -
é o teor inicial uniforme, -
é o teor de umidade na superfície (constante), -
é a difusividade efetiva (o que queremos), -
é a meia-espessura do disco, -
é o tempo.
Explicando a fórmula como aula rápida:
- A equação de difusão é
. Para a condição de contorno e condição inicial , a solução por separação de variáveis gera a série acima. - A razão
é a “umidade adimensional” (também chamada razão de umidade, MR) no centro.
Passo 3
Simplificações e aproximação prática usadas aqui (justificadas):
- Adotamos
(umidade superficial efetivamente muito baixa comparada a ). Justificativa: a externa resistência é desprezível e em estufa quente a superfície seca rapidamente; para modelagem de difusão interna é prática comum assumir pequeno e tratar a superfície como referência zero. Esse é o enunciado típico desse tipo de exercício. Usaremos . Se o professor exigisse outro valor, o procedimento é análogo com . - Para calcular
usamos a aproximação do primeiro termo da série (termo dominante) — isso é válido a partir de tempos moderados, quando os termos mais rápidos já decaíram. A série no centro tem primeiro termo (para ) igual a . Assim aproximamos:
Breve motivo: a série inteira converge e, após algum tempo, o primeiro modo domina o decaimento exponencial. Aqui os valores medidos (redução grande do centro) justificam aplicar a aproximação de primeiro termo com boa precisão.
Passo 4
Preparar valores numéricos e conversões:
- Meia-espessura:
- Tempo dado:
- Umidade inicial:
- Umidade no centro aos
: - Definimos a razão adimensional no centro (com
):
Passo 5
Determinar
usando a aproximação de um termo. Partimos de
Isolando
:
logo
Substituindo números (fazer as contas passo a passo):
Multiplicando:
Em unidades alternativas:
Comentário: esse valor está na faixa de difusividades efetivas reportadas para frutas desidratadas a temperaturas elevadas (ordem de
a
), então é razoável.
Passo 6
Agora parte (b): tempo para atingir
. Repetimos formulação com
:
Usando a mesma aproximação de um termo:
Isolando
:
Calcule os termos numéricos:
Usando
e
,
Multiplicando pelo fator logarítmico:
Convertendo para horas:
Observação final sobre aproximação: o tempo calculado é uma estimativa baseada em
e na aproximação do primeiro termo. Para maior precisão, especialmente em estágios finais, poderia-se usar mais termos da série ou ajustar
se um valor experimental de superfície estiver disponível. Mas para propósito de prova e engenharia preliminar essa aproximação é padrão e adequada.