Questão 3: A desidratação de maçãs é amplamente utilizada na indústria alimentícia para produção de snacks, redução de volume para transporte, aumento de vida de prateleira e criação de ingredientes estáveis para cereais, mixes secos e produtos instantâneos. Maçãs frescas possuem tipicamente 92,5 \% de umidade em base úmida. O aluno Eduardo preparou um cilindro de maçã com 1,0 \mathrm{~cm} de espessura e 4 cm de diâmetro. Selou a superfície lateral (borda do cilindro) e submeteu as duas faces planas à secagem convectiva em estufa a 70^{\circ} \mathrm{C}, condição que permite considerar desprezível a resistência externa e assumir umidade superficial constante. Após 1,5 \mathrm{~h} de secagem, o teor de umidade medido no centro do disco caiu para 20 \%.
a) Ajude o Eduardo a determinar o coeficiente de diusividade da maçã, um parâmetro fundamental para modelagem de secagem e otimização de processos industriais ( \mathbf{1 , 0} ).
b) O USDA (Departamento de Agricultura dos EUA) estabelece que para maçãs desidratadas de Grau B, o teor de umidade não deve ser superior a 3,5 \% em peso, para garantir uma textura razoavelmente boa. Qual o tempo necessário para a secagem do Eduardo atingir esta determinação (3,5 \%)(\mathbf{1 , 0}).

Passo 1

O enunciado dá estes dados e pede duas coisas (peguei todos os números do enunciado):
  • Espessura do disco de maçã: 1{,}0\\ \mathrm{cm}. As duas faces planas são expostas à secagem; a lateral está selada.
  • Portanto a difusão é essencialmente unidimensional através da espessura. Adota-se meia-espessura (do centro até a superfície) \;L=\dfrac{1{,}0\\ \mathrm{cm}}{2}=0{,}5\\ \mathrm{cm}.
  • Umidade inicial (base úmida): M_0=92{,}5\% (ou 0{,}925 em fração).
  • Após 1{,}5\\ \mathrm{h} o teor de umidade no centro caiu para M_c(1{,}5\\ \mathrm{h})=20\% (ou 0{,}20 em fração).
  • Condição de contorno: resistência externa desprezível e umidade superficial constante (valor da superfície dado pela condição de secagem).
  • (a) Determinar o coeficiente de difusividade efetiva D da maçã.
  • (b) Determinar o tempo necessário para que o centro atinja 3{,}5\% (ou 0{,}035 em fração).
Observação: todas as contas com unidades SI serão apresentadas (conversão de cm para m quando for o caso).

Passo 2

Qual modelo físico vamos usar (sem resolver ainda): difusão transiente unidimensional em uma placa (slab) de meia-espessura L, com condição de contorno de concentração (umidade) constante na superfície. A solução analítica conhecida para a fração adimensional de umidade no centro é (série de Fourier):
\frac{M_c(t)-M_s}{M_0-M_s}=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\exp\!\left[-\frac{(2n+1)^2\pi^2 D t}{4L^2}\right],
onde:
  • M_c(t) é o teor de umidade no centro no tempo t,
  • M_0 é o teor inicial uniforme,
  • M_s é o teor de umidade na superfície (constante),
  • D é a difusividade efetiva (o que queremos),
  • L é a meia-espessura do disco,
  • t é o tempo.
Explicando a fórmula como aula rápida:
  • A equação de difusão é \partial M/\partial t = D\,\partial^2 M/\partial x^2. Para a condição de contorno M(\pm L,t)=M_s e condição inicial M(x,0)=M_0, a solução por separação de variáveis gera a série acima.
  • A razão (M_c(t)-M_s)/(M_0-M_s) é a “umidade adimensional” (também chamada razão de umidade, MR) no centro.

Passo 3

Simplificações e aproximação prática usadas aqui (justificadas):
  • Adotamos M_s\approx 0 (umidade superficial efetivamente muito baixa comparada a M_0). Justificativa: a externa resistência é desprezível e em estufa quente a superfície seca rapidamente; para modelagem de difusão interna é prática comum assumir M_s pequeno e tratar a superfície como referência zero. Esse é o enunciado típico desse tipo de exercício. Usaremos M_s=0. Se o professor exigisse outro valor, o procedimento é análogo com M_s\neq0.
  • Para calcular D usamos a aproximação do primeiro termo da série (termo dominante) — isso é válido a partir de tempos moderados, quando os termos mais rápidos já decaíram. A série no centro tem primeiro termo (para n=0) igual a \dfrac{4}{\pi}\exp\!\left[-\dfrac{\pi^2 D t}{4L^2}\right]. Assim aproximamos:
\frac{M_c(t)}{M_0}\approx \frac{4}{\pi}\exp\!\left[-\frac{\pi^2 D t}{4L^2}\right].
Breve motivo: a série inteira converge e, após algum tempo, o primeiro modo domina o decaimento exponencial. Aqui os valores medidos (redução grande do centro) justificam aplicar a aproximação de primeiro termo com boa precisão.

Passo 4

Preparar valores numéricos e conversões:
  • Meia-espessura: L=0{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Tempo dado: t_1=1{,}5\\ \mathrm{h}=1{,}5\times3600\\ \mathrm{s}=5400\\ \mathrm{s}.
  • Umidade inicial: M_0=0{,}925.
  • Umidade no centro aos t_1: M_c(t_1)=0{,}20.
  • Definimos a razão adimensional no centro (com M_s=0):
\mathrm{MR}_1\equiv\frac{M_c(t_1)}{M_0}=\frac{0{,}20}{0{,}925}=0{,}216216\ldots

Passo 5

Determinar D usando a aproximação de um termo. Partimos de
\mathrm{MR}_1 \approx \frac{4}{\pi}\exp\!\left[-\frac{\pi^2 D t_1}{4L^2}\right].
Isolando D:
\exp\!\left[-\frac{\pi^2 D t_1}{4L^2}\right]\approx \frac{\pi}{4}\mathrm{MR}_1, \qquad -\frac{\pi^2 D t_1}{4L^2}=\ln\!\left(\frac{\pi}{4}\mathrm{MR}_1\right),
logo
D=-\frac{4L^2}{\pi^2 t_1}\ln\!\left(\frac{\pi}{4}\mathrm{MR}_1\right).
Substituindo números (fazer as contas passo a passo):
\frac{\pi}{4}\mathrm{MR}_1=0{,}7853981634\times0{,}216216\dots=0{,}169686\ldots
\ln\!\left(\frac{\pi}{4}\mathrm{MR}_1\right)=\ln(0{,}169686)= -1{,}774239\ldots
\frac{4L^2}{\pi^2 t_1}=\frac{4(0{,}005)^2}{\pi^2\times5400}=\frac{1{,}0\times10^{-4}}{9{,}8696\times5400}=1{,}8766\times10^{-9}\\ \mathrm{s^{-1}\,m^2}.
Multiplicando:
D=1{,}8766\times10^{-9}\times 1{,}774239 = 3{,}328\times10^{-9}\\ \mathrm{m^2/s}.
Em unidades alternativas:
D\approx 3{,}33\times10^{-9}\\ \mathrm{m^2/s} \approx 3{,}33\times10^{-5}\\ \mathrm{cm^2/s}.
Comentário: esse valor está na faixa de difusividades efetivas reportadas para frutas desidratadas a temperaturas elevadas (ordem de 10^{-9} a 10^{-8}\\ \mathrm{m^2/s}), então é razoável.

Passo 6

Agora parte (b): tempo para atingir M_{\text{alvo}}=3{,}5\% = 0{,}035. Repetimos formulação com M_s=0:
\mathrm{MR}_{\text{alvo}}=\frac{M_{\text{alvo}}}{M_0}=\frac{0{,}035}{0{,}925}=0{,}0378378\ldots
Usando a mesma aproximação de um termo:
\mathrm{MR}_{\text{alvo}}\approx\frac{4}{\pi}\exp\!\left[-\frac{\pi^2 D t_{\text{alvo}}}{4L^2}\right].
Isolando t_{\text{alvo}}:
t_{\text{alvo}}=-\frac{4L^2}{\pi^2 D}\ln\!\left(\frac{\pi}{4}\mathrm{MR}_{\text{alvo}}\right).
Calcule os termos numéricos:
\frac{\pi}{4}\mathrm{MR}_{\text{alvo}}=0{,}7853981634\times 0{,}0378378=0{,}0297303\ldots
\ln\!\left(\frac{\pi}{4}\mathrm{MR}_{\text{alvo}}\right)=\ln(0{,}0297303)=-3{,}51677\ldots
Usando D=3{,}328\times10^{-9}\\ \mathrm{m^2/s} e 4L^2=1{,}0\times10^{-4},
\frac{4L^2}{\pi^2 D}=\frac{1{,}0\times10^{-4}}{9{,}8696\times3{,}328\times10^{-9}}=3{,}0458\times10^{3}\\ \mathrm{s}.
Multiplicando pelo fator logarítmico:
t_{\text{alvo}}=3{,}0458\times10^{3}\times 3{,}51677=1{,}0713\times10^{4}\\ \mathrm{s}.
Convertendo para horas:
t_{\text{alvo}}=\frac{1{,}0713\times10^{4}}{3600}=2{,}976\\ \mathrm{h}\approx 2\\ \mathrm{h}\\\ 58\\ \mathrm{min}\\\ 34\\ \mathrm{s}.
Observação final sobre aproximação: o tempo calculado é uma estimativa baseada em M_s\approx0 e na aproximação do primeiro termo. Para maior precisão, especialmente em estágios finais, poderia-se usar mais termos da série ou ajustar M_s se um valor experimental de superfície estiver disponível. Mas para propósito de prova e engenharia preliminar essa aproximação é padrão e adequada.

Resposta

\displaystyle D\approx 3{,}33\times10^{-9}\\ \mathrm{m^2/s} ( \approx 3{,}33\times10^{-5}\\ \mathrm{cm^2/s})
\displaystyle t\approx 2{,}98\\ \mathrm{h}\approx 2\\ \mathrm{h}\\\ 58\\ \mathrm{min}\\\ 34\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados