Questão 4 - Evaporação convectiva de película líquida em placa plana vertical: Em um processo típico de operações unitárias da engenharia química, deseja-se avaliar a taxa de evaporação de uma película delgada de benzeno que escoa sobre a superfície externa de uma placa plana vertical, utilizada como unidade experimental para estudos de transferência de massa. A placa possui 7,0 \mathrm{~m} de comprimento e 2,0 \mathrm{~m} de largura, estando totalmente exposta a uma corrente de ar forçada que escoa paralelamente à superfície. O benzeno líquido é alimentado no topo da placa, formando um filme descendente a 289 K , enquanto o ar atmosférico livre de benzeno entra na região de escoamento a 303 K e 1,013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}. A difusividade do benzeno no ar, na temperatura média da película gasosa, é \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=9,51 \times 10^{-6} \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}, e a pressão de vapor do benzeno a 289 K é \mathrm{p}_{\mathrm{v}}=8000 \mathrm{~Pa}. Assuma propriedades constantes do ar: \mu=1,8 \times 10^{-5} \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s} e \rho=1,23 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. O ar de entrada não contém benzeno ( \mathrm{C} \infty=0 ).
Determine:
O fluxo molar mínimo de alimentação do benzeno na parte superior da placa para que todo o líquido evapore antes de atingir a base, quando a velocidade do ar está a 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}(\mathbf{2 , 0}).

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa.
Dados fornecidos:
  • comprimento da placa: L=7{,}0\\ \mathrm{m}.
  • largura da placa (no sentido perpendicular ao comprimento, área exposta por unidade de largura): W=2{,}0\\ \mathrm{m}.
  • velocidade do ar em escoamento paralelo: U_\infty=8{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • temperatura do líquido (filme): T_{\ell}=289\\ \mathrm{K}.
  • temperatura do ar de entrada: T_\infty=303\\ \mathrm{K}.
  • pressão total do ar: p=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • difusividade do benzeno no ar (na temperatura média da película gasosa): D_{AB}=9{,}51\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • pressão de vapor do benzeno a 289\\ \mathrm{K}: p_v=8000\\ \mathrm{Pa}.
  • viscosidade do ar: \mu=1{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • densidade do ar: \rho=1{,}23\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • ar de entrada não contém benzeno: C_\infty=0.
O que o enunciado pede:
  • “Determine: O fluxo molar mínimo de alimentação do benzeno na parte superior da placa para que todo o líquido evapore antes de atingir a base, quando a velocidade do ar está a 8\\ \mathrm{m/s}.”
Observação sobre a interpretação: a redação normalmente usada para esses problemas pede o fluxo molar máximo que pode ser evaporado completamente ao longo da placa (ou seja, a capacidade máxima de evaporação da placa sob as condições dadas). Vou interpretar o pedido como “determinar o fluxo molar na alimentação que corresponde à capacidade de evaporação total ao longo da placa” — isto é, o maior fluxo que ainda evapora integralmente antes da base. Não pedirei clarificações e seguirei essa interpretação.

Passo 2

Plano geral (sem cálculos ainda): para saber a taxa total de vaporização precisamos calcular o fluxo molar evaporado por unidade de área ao longo da placa e integrar ao longo do comprimento. A taxa local de transferência de massa do benzeno para o ar é dada por
N_A''(x)=k_c(x)\,C_{A,s},
onde k_c(x) é o coeficiente de transferência de massa local (m/s) e C_{A,s} é a concentração molar do benzeno na fase gasosa junto à interface (mol/m^3). Aqui C_\infty=0, então a diferença de concentração é simplesmente C_{A,s}.
Para obter k_c(x) usamos correlações de convecção forçada sobre placa plana para transferência de massa: análogas às correlações de Nußelt/Nusselt para calor, as correlações de Sherwood/Schmidt são:
  • regime laminar local: \displaystyle Sh_x=0{,}332\,Re_x^{1/2}\,Sc^{1/3}.
  • regime totalmente turbulento local (empírico para camada externa após transição): \displaystyle Sh_x=0{,}0296\,Re_x^{4/5}\,Sc^{1/3}.
Relações úteis:
Sh_x=\frac{k_c(x)\,x}{D_{AB}},\qquad Re_x=\frac{U_\infty\,x}{\nu},\qquad Sc=\frac{\nu}{D_{AB}},\qquad \nu=\frac{\mu}{\rho}.
Como a placa é longa, o escoamento sobre ela pode apresentar transição laminar→turbulento. A posição aproximada de transição usa Re_{x,tr}\approx 5\times10^{5}. Então dividimos a integração em duas regiões: 0\le x\le x_{tr} (laminar) e x_{tr}\le x\le L (turbulento), e somamos as contribuições de evaporação.
Nos próximos passos calculo:
  1. propriedades derivadas: \nu, Sc, C_{A,s}.
  2. posição de transição x_{tr}.
  3. integral do fluxo molar sobre placa como soma das contribuições laminar e turbulenta.

Passo 3

Cálculo das propriedades derivadas (passo-a-passo didático).
Viscosidade cinemática do ar:
\nu=\frac{\mu}{\rho}=\frac{1{,}8\times10^{-5}}{1{,}23}=1{,}4634\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
Número de Schmidt:
Sc=\frac{\nu}{D_{AB}}=\frac{1{,}4634\times10^{-5}}{9{,}51\times10^{-6}}=1{,}5388.
Tomando a raiz cúbica:
Sc^{1/3}\approx 1{,}1549.
Temperatura para cálculo de concentração molar na interface: vamos usar a temperatura média da película gasosa entre o líquido ( 289\\ \mathrm{K}) e o ar ( 303\\ \mathrm{K}), ou seja \bar{T}=(289+303)/2=296\\ \mathrm{K}. (Isto é coerente com a difusividade dada à temperatura média.)
Concentração molar do benzeno na superfície (lei dos gases ideais):
C_{A,s}=\frac{p_v}{R\,\bar{T}}.
Usando R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}:
C_{A,s}=\frac{8000}{8{,}314\cdot 296}= \frac{8000}{2460{,}944}\approx 3{,}2496\\ \mathrm{mol/m^3}.
Verificação do regime: Reynolds total na extremidade x=L é
Re_L=\frac{U_\infty L}{\nu}=\frac{8\cdot 7}{1{,}4634\times10^{-5}}\approx 3{,}8259\times10^{6},
muito maior que 5\times10^5, portanto há transição. A posição da transição x_{tr} (onde Re_x=5\times10^5) é
x_{tr}=\frac{Re_{tr}\,\nu}{U_\infty}=\frac{5\times10^5\cdot 1{,}4634\times10^{-5}}{8}\approx 0{,}9146\\ \mathrm{m}.
Portanto integraremos de 0 a x_{tr} com correlação laminar e de x_{tr} a L com correlação turbulenta.

Passo 4

Expressões para o coeficiente local k_c(x) e para a taxa total de evaporação (passo-a-passo da integração).
Laminar (local):
Sh_x=0{,}332\,Re_x^{1/2}\,Sc^{1/3} \quad\Rightarrow\quad k_c(x)=\frac{D_{AB}}{x}\,Sh_x = D_{AB}\,0{,}332\,\frac{(U_\infty x/\nu)^{1/2}}{x}\,Sc^{1/3}.
Simplificando:
k_c(x)=D_{AB}\,0{,}332\,\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2} x^{-1/2}\,Sc^{1/3}.
Assim o fluxo molar local é
N_A''(x)=k_c(x)\,C_{A,s}=D_{AB}\,0{,}332\,\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2}Sc^{1/3}\,C_{A,s}\, x^{-1/2}.
Integrando de 0 a x_{tr} (lembrando \int_0^{x_{tr}} x^{-1/2}\,dx=2\sqrt{x_{tr}}):
\dot{N}_{A,\text{lam}}=W\int_0^{x_{tr}} N_A''(x)\,dx = W\,C_{A,s}\,D_{AB}\,0{,}332\,\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2}Sc^{1/3}\cdot 2\sqrt{x_{tr}}.
Reagrupando 0{,}332\cdot 2=0{,}664,
\boxed{\displaystyle \dot{N}_{A,\text{lam}}=W\,C_{A,s}\,D_{AB}\,0{,}664\,Sc^{1/3}\,\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2}\sqrt{x_{tr}}.}
Turbulento (local):
Sh_x=0{,}0296\,Re_x^{4/5}\,Sc^{1/3} \quad\Rightarrow\quad k_c(x)=D_{AB}\,0{,}0296\,\frac{(U_\infty x/\nu)^{4/5}}{x}\,Sc^{1/3}.
Simplificando:
k_c(x)=D_{AB}\,0{,}0296\,\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{4/5} x^{-1/5}\,Sc^{1/3}.
Logo
N_A''(x)=k_c(x)C_{A,s}=D_{AB}\,0{,}0296\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{4/5}Sc^{1/3}C_{A,s}\,x^{-1/5}.
Integrando de x_{tr} a L (lembrando \int x^{-1/5}dx=\tfrac{5}{4}x^{4/5}):
\dot{N}_{A,\text{turb}}=W\,C_{A,s}\,D_{AB}\,0{,}0296\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{4/5}Sc^{1/3}\cdot\frac{5}{4}\left(L^{4/5}-x_{tr}^{4/5}\right).
Reagrupando 0{,}0296\cdot\frac{5}{4}=0{,}037,
\boxed{\displaystyle \dot{N}_{A,\text{turb}}=W\,C_{A,s}\,D_{AB}\,0{,}037\,Sc^{1/3}\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{4/5}\left(L^{4/5}-x_{tr}^{4/5}\right).}
A capacidade total de evaporação da placa é a soma:
\dot{N}_A=\dot{N}_{A,\text{lam}}+\dot{N}_{A,\text{turb}}.
Nos próximos passos substituo números e calculo \dot{N}_A.

Passo 5

Substituição numérica cuidadosa (cada multiplicação mostrada).
Constantes já obtidas:
\nu=1{,}4634\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},\quad Sc^{1/3}=1{,}1549,\quad C_{A,s}=3{,}2496\\ \mathrm{mol/m^3}.
Outros valores:
D_{AB}=9{,}51\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},\quad W=2{,}0\\ \mathrm{m},\quad U_\infty=8{,}0\\ \mathrm{m/s},
x_{tr}=0{,}9146\\ \mathrm{m},\quad L=7{,}0\\ \mathrm{m}.
Calcule \left(\dfrac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2} e \left(\dfrac{U_\infty}{\nu}\right)^{4/5}:
\frac{U_\infty}{\nu}=\frac{8}{1{,}4634\times10^{-5}}\approx 5{,}4656\times10^{5}.
\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2}\approx 7{,}396\times10^{2}, \qquad \left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{4/5}\approx 3{,}8810\times10^{4}.
Agora a contribuição laminar:
\dot{N}_{A,\text{lam}}=2\cdot 3{,}2496\cdot 9{,}51\times10^{-6}\cdot 0{,}664\cdot 1{,}1549\cdot 7{,}396\times10^{2}\cdot\sqrt{0{,}9146}.
Calcule por partes:
9{,}51\times10^{-6}\cdot 0{,}664=6{,}318\times10^{-6}.
6{,}318\times10^{-6}\cdot 1{,}1549=7{,}295\times10^{-6}.
7{,}295\times10^{-6}\cdot 7{,}396\times10^{2}=5{,}391\times10^{-3}.
\sqrt{0{,}9146}=0{,}9564,\quad 5{,}391\times10^{-3}\cdot 0{,}9564=5{,}154\times10^{-3}.
5{,}154\times10^{-3}\cdot 3{,}2496=1{,}675\times10^{-2}.
\dot{N}_{A,\text{lam}}=2\cdot 1{,}675\times10^{-2}=3{,}350\times10^{-2}\\ \mathrm{mol/s}.
Portanto
\dot{N}_{A,\text{lam}}\approx 0{,}03350\\ \mathrm{mol/s}.
Agora a contribuição turbulenta:
\dot{N}_{A,\text{turb}}=2\cdot 3{,}2496\cdot 9{,}51\times10^{-6}\cdot 0{,}037\cdot 1{,}1549\cdot 3{,}8810\times10^{4}\cdot\left(7^{4/5}-0{,}9146^{4/5}\right).
Calcule 7^{4/5} e 0{,}9146^{4/5}:
7^{4/5}\approx 4{,}742,\qquad 0{,}9146^{4/5}\approx 0{,}9310,
logo diferença =3{,}811.
Agora por partes:
9{,}51\times10^{-6}\cdot 0{,}037=3{,}519\times10^{-7}.
3{,}519\times10^{-7}\cdot 1{,}1549=4{,}063\times10^{-7}.
4{,}063\times10^{-7}\cdot 3{,}8810\times10^{4}=1{,}365\times10^{-2}.
1{,}365\times10^{-2}\cdot 3{,}811=5{,}999\times10^{-2}.
5{,}999\times10^{-2}\cdot 3{,}2496=1{,}954\times10^{-1}.
\dot{N}_{A,\text{turb}}=2\cdot 1{,}954\times10^{-1}=3{,}908\times10^{-1}\\ \mathrm{mol/s}.
Portanto
\dot{N}_{A,\text{turb}}\approx 0{,}3908\\ \mathrm{mol/s}.
Somando ambas:
\dot{N}_A=\dot{N}_{A,\text{lam}}+\dot{N}_{A,\text{turb}}\approx 0{,}03350+0{,}3908=0{,}4243\\ \mathrm{mol/s}.

Passo 6

Interpretação física e verificação de ordem de grandeza (didática e incentivo):
  • A maior parte da transferência de massa ocorre na região turbulenta (como fazia sentido: maior transferência em escoamento turbulento).
  • O valor obtido \dot{N}_A\approx 0{,}424\\ \mathrm{mol/s} corresponde à taxa molar máxima que o ar e a geometria da placa permitem evaporar completamente o benzeno antes da base. Se a alimentação molar for maior que isso, parte do filme chegará à base sem evaporar; se for menor ou igual, todo o líquido pode evaporar sobre a placa.
  • É importante observar que usamos correlações empíricas válidas para escoamento paralelo sobre placa plana e assumimos equilíbrio de fase na interface (a pressão de vapor dada). Também usamos temperatura média para converter pressão de vapor em concentração — essas são aproximações padrão em exercícios desse tipo.

Resposta

\dot{N}_A \approx 0{,}424\\ \mathrm{mol/s}

Exercícios relacionados