Um gráfico da altura em função do tempo, para um objeto atirado verticalmente para cima, é uma parábola. A trajetória de um projétil, atirado para cima mas não verticalmente, também é uma parábola. Isso é uma coincidência? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o gráfico da altura versus tempo de um objeto lançado verticalmente pra cima é uma parábola, e que a trajetória de um projétil lançado numa direção oblíqua também é uma parábola. A pergunta é: “isso é coincidência?”
Conteúdo: Cinemática com aceleração constante (gravidade). Vamos usar as fórmulas do movimento uniformemente acelerado (MUV) e decompor o movimento em componentes horizontal e vertical.

Passo 2

Antes de tudo, lembra que em queda livre (ou lançamento pra cima) a única aceleração é a da gravidade, s(t) = s0 + v0,t + 12,a,t^2, , apontando pra baixo. A equação geral do MUV é
onde é a posição, a velocidade inicial e a aceleração.

Passo 3

Caso 1: Lançamento vertical puro.
Aqui só tem componente vertical. Se definirmos y(t) = y0 + v0y,t - tfrac12,g,t^2 como altura, como altura inicial e como velocidade inicial vertical, então
Isso é um polinômio de segundo grau em , ou seja, uma parábola. Pronto, já temos o gráfico vs. em forma de parábola.

Passo 4

Caso 2: Lançamento oblíquo.
A gente separa o movimento em duas partes:
• Horizontal ( x(t) = x0 + v0x,t, ): não tem aceleração (desprezando resistência do ar), logo
y(t) = y0 + v0y,t - tfrac12,g,t^2
que é uma reta em função de .
• Vertical ( ): tem aceleração , então

Passo 5

Para achar a forma t = x - x0v0x em função de y(x) = y0 + v0y,l(x - x0v0xr) - tfrac12,g,l(x - x0v0xr)^2 (a trajetória), a gente isola y(x) = A + B,x - C,x^2, na equação do :
Substitui isso em :
Quando você simplifica, dá algo do tipo
onde , e são constantes. Isso é de novo um polinômio de segundo grau em , ou seja, uma parábola.

Resposta

Não é coincidência: em ambos os casos a parábola surge porque o movimento sob gravidade é uniformemente acelerado. No lançamento vertical a posição é função quadrática de ; no lançamento oblíquo, ao eliminar , a altura vira uma função quadrática de .

Exercícios relacionados