Um gráfico da altura em função do tempo, para um objeto atirado verticalmente para cima, é uma parábola. A trajetória de um projétil, atirado para cima mas não verticalmente, também é uma parábola. Isso é uma coincidência? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que o gráfico da altura versus tempo de um objeto lançado verticalmente pra cima é uma parábola, e que a trajetória de um projétil lançado numa direção oblíqua também é uma parábola. A pergunta é: “isso é coincidência?”
Conteúdo: Cinemática com aceleração constante (gravidade). Vamos usar as fórmulas do movimento uniformemente acelerado (MUV) e decompor o movimento em componentes horizontal e vertical.
Conteúdo: Cinemática com aceleração constante (gravidade). Vamos usar as fórmulas do movimento uniformemente acelerado (MUV) e decompor o movimento em componentes horizontal e vertical.
Passo 2
Antes de tudo, lembra que em queda livre (ou lançamento pra cima) a única aceleração é a da gravidade,
, apontando pra baixo. A equação geral do MUV é
onde
é a posição,
a velocidade inicial e
a aceleração.
Passo 3
Caso 1: Lançamento vertical puro.
Aqui só tem componente vertical. Se definirmos como altura,
como altura inicial e
como velocidade inicial vertical, então
Aqui só tem componente vertical. Se definirmos
Isso é um polinômio de segundo grau em
, ou seja, uma parábola. Pronto, já temos o gráfico
vs.
em forma de parábola.
Passo 4
Caso 2: Lançamento oblíquo.
A gente separa o movimento em duas partes:
• Horizontal ( ): não tem aceleração (desprezando resistência do ar), logo
A gente separa o movimento em duas partes:
• Horizontal (
que é uma reta em função de
.
• Vertical ( ): tem aceleração
, então
• Vertical (
Passo 5
Para achar a forma
em função de
(a trajetória), a gente isola
na equação do
:
Substitui isso em
:
Quando você simplifica, dá algo do tipo
onde
,
e
são constantes. Isso é de novo um polinômio de segundo grau em
, ou seja, uma parábola.
Resposta
Não é coincidência: em ambos os casos a parábola surge porque o movimento sob gravidade é uniformemente acelerado. No lançamento vertical a posição
é função quadrática de
; no lançamento oblíquo, ao eliminar
, a altura
vira uma função quadrática de
.