Um gráfico barx para uma característica normalmente distribuída deve ser construído com valores de referência mu=100, sigma=8 e n=4. Determine:
a) Os limites de controle dois-sigma.
Resp.: L I C=92 ; L C=100 ; L S C=108.
b) Os limites de controle tais que a probabilidade de um ponto estar fora do intervalo [L I C ; L S C] seja 0,005.
Resp.: L I C=88,76 ; L C=100 ; L S C=111,24.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um gráfico de controle para uma característica que segue uma distribuição normal. Os valores de referência são: média ( mu) igual a 100, desvio padrão ( sigma) igual a 8 e tamanho da amostra ( n) igual a 4. Nosso objetivo é determinar os limites de controle para esse gráfico. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de estatística básica, especialmente sobre distribuição normal e gráficos de controle.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os limites de controle. Eles são valores que definem os limites aceitáveis para variações no processo. Se os pontos estiverem dentro desses limites, tudo está normal; se estiverem fora, pode haver algo errado no processo.
Como estamos lidando com a média da amostra, a fórmula para calcular os limites de controle é:
Limite de Contro<= Superior (LCS) = mu + z times ( sigmaraizn )
Limite de Contro<= Inferior (LCI) = mu - z times ( sigmaraizn )
Onde z é o número de desvios padrão que queremos considerar. No item (a), estamos usando dois desvios padrão (dois-sigma).

Passo 3

Vamos calcular o erro padrão da média, que é sigmaraizn. Substituindo os valores:
8raiz4 = 82 = 4
Então, o erro padrão é 4.

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula para os limites de controle com dois-sigma ( z = 2):
LCS = 100 + 2 times 4 = 100 + 8 = 108
LCI = 100 - 2 times 4 = 100 - 8 = 92

Passo 5

Pronto! Dessa forma, os limites de controle com dois-sigma são:
LCI = 92 ; LC = 100 ; LCS = 108

Passo 6

Agora, vamos para o item (b). Queremos encontrar os limites de controle de forma que a probabilidade de um ponto estar fora do intervalo [LIC ; LSC] seja 0,005. Isso significa que queremos que apenas 0,5% dos pontos estejam fora desses limites, sendo 0,25% de cada lado.

Passo 7

Para isso, precisamos encontrar o valor de z que corresponde a uma probabilidade de 0,0025 (0,25%) em cada extremidade da distribuição normal. Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos que z approx pm 2,807.

Passo 8

Usando o mesmo erro padrão da média que calculamos antes (4), vamos aplicar a fórmula dos limites de controle:
LCS = 100 + 2,807 times 4 approx 100 + 11,228 approx 111,24
LCI = 100 - 2,807 times 4 approx 100 - 11,228 approx 88,76

Resposta

a) LIC=92 ; LC=100 ; LSC=108.
b) LIC=88,76 ; LC=100 ; LSC=111,24.

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