Um gráfico
é usado para controlar a média de uma característica da qualidade normalmente distribuída. Sabe-se que
e
. Os limites de controle superior e inferior são, respectivamente,
e
.
a) Se as especificações para essa variável são
, o que se pode afirmar sobre a capacidade desse processo? Ele está centrado na média?
Resp.:
(Processo operando em verde);
(Processo não centrado na média, porém não muito distante disso.)
b) Qual a porcentagem da faixa de especificações que está sendo usada nesse processo?
Resp.:
.
c) Qual a probabilidade de um alarme falso nesse processo?
Resp.: 0,0027 (Trata-se de um gráfico
.)
d) Se a média do processo se desloca para 188, ache a probabilidade de que esse deslocamento seja detectado na primeira amostra subsequente. Resp.: 0,84134.
a) Se as especificações para essa variável são
Resp.:
b) Qual a porcentagem da faixa de especificações que está sendo usada nesse processo?
Resp.:
c) Qual a probabilidade de um alarme falso nesse processo?
d) Se a média do processo se desloca para 188, ache a probabilidade de que esse deslocamento seja detectado na primeira amostra subsequente. Resp.: 0,84134.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre gráficos
, que são usados para monitorar a média de uma característica de qualidade que segue uma distribuição normal. Para isso, precisamos entender conceitos como desvio padrão, tamanho da amostra, limites de controle, capacidade do processo e probabilidades relacionadas a alarmes falsos e detecção de desvios. Vamos abordar cada parte do exercício passo a passo.
Passo 2
Parte a)
Queremos determinar a capacidade do processo e verificar se ele está centrado na média, dado que as especificações são
, ou seja, a faixa de especificação vai de 181 a 221.
Primeiro, vamos calcular o Índice de Capacidade do Processo (
). Esse índice nos mostra quão bem a variação do processo está dentro das especificações.
A fórmula do
é:
Onde:
Então,
Um
de 2,22 indica que o processo tem uma boa capacidade, pois valores acima de 1,33 são geralmente considerados aceitáveis.
Para verificar se o processo está centrado, calculamos o Índice de Capacidade Centrado (
), que considera o deslocamento da média do processo em relação ao centro das especificações.
A fórmula do
é:
Como
é menor que
, isso indica que o processo não está perfeitamente centrado, mas ainda assim está bastante próximo do centro.
Passo 3
Parte b)
Agora, queremos saber qual a porcentagem da faixa de especificação está sendo utilizada pelo processo. Isso nos ajuda a entender quanto da capacidade do processo está realmente sendo utilizada pelas especificações.
A fórmula para a porcentagem utilizada é:
Substituindo os valores:
Isso significa que 45% da faixa de especificação está sendo utilizada pelo processo.
Passo 4
Parte c)
Queremos calcular a probabilidade de um alarme falso no processo, ou seja, a chance de um ponto cair fora dos limites de controle quando o processo está sob controle.
Como estamos usando um gráfico
com limites de controle de
, a probabilidade de um alarme falso é a área das duas caudas da distribuição normal além de
.
A probabilidade de estar além de
em uma distribuição normal é aproximadamente 0,27%.
Como são duas caudas, dividimos por 2 para cada lado:
Contudo, como estamos considerando ambas as extremidades (superior e inferior), somamos as duas probabilidades:
Mas parece que a resposta esperada é
, que é a representação decimal de 0,27%. Portanto:
Passo 5
Parte d)
Agora, se a média do processo se desloca para 188, queremos saber a probabilidade de que esse deslocamento seja detectado na primeira amostra subsequente.
Primeiro, calculamos quantos desvios padrão o novo valor (188) está distante do limite de controle inferior (191).
O desvio padrão da média da amostra é:
Então, o desvio é de:
Usando a tabela da distribuição normal, a probabilidade de estar abaixo de
é aproximadamente 84,134%.
Portanto, a probabilidade de detectar o deslocamento na primeira amostra é:
Resposta
c)
A probabilidade de um alarme falso nesse processo é .
A probabilidade de um alarme falso nesse processo é
d)
A probabilidade de que o deslocamento para 188 seja detectado na primeira amostra subsequente é .
A probabilidade de que o deslocamento para 188 seja detectado na primeira amostra subsequente é