Um gráfico barX é usado para controlar a média de uma característica da qualidade normalmente distribuída. Sabe-se que sigma=6,0 e n=4. Os limites de controle superior e inferior são, respectivamente, L S C=209 e L I C=191.
a) Se as especificações para essa variável são 201 pm 20, o que se pode afirmar sobre a capacidade desse processo? Ele está centrado na média?
Resp.: Cp=2,22 (Processo operando em verde); Cpk=2,11 (Processo não centrado na média, porém não muito distante disso.)
b) Qual a porcentagem da faixa de especificações que está sendo usada nesse processo?
Resp.: P=45 %.
c) Qual a probabilidade de um alarme falso nesse processo?
Resp.: 0,0027 (Trata-se de um gráfico 3 sigma.)
d) Se a média do processo se desloca para 188, ache a probabilidade de que esse deslocamento seja detectado na primeira amostra subsequente. Resp.: 0,84134.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre gráficos barX, que são usados para monitorar a média de uma característica de qualidade que segue uma distribuição normal. Para isso, precisamos entender conceitos como desvio padrão, tamanho da amostra, limites de controle, capacidade do processo e probabilidades relacionadas a alarmes falsos e detecção de desvios. Vamos abordar cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte a)
Queremos determinar a capacidade do processo e verificar se ele está centrado na média, dado que as especificações são 201 pm 20, ou seja, a faixa de especificação vai de 181 a 221.
Primeiro, vamos calcular o Índice de Capacidade do Processo ( Cp). Esse índice nos mostra quão bem a variação do processo está dentro das especificações.
A fórmula do Cp é:
Cp = Faixa de Especificação6 sigma / raizn çã
Onde:
  • Faixa de Especificação = 221 - 181 = 40çã
  • sigma = 6,0
  • n = 4
  • 6 sigma / raizn = 6 times 6 / 2 = 18
Então,
Cp = 4018 approx 2,22
Um Cp de 2,22 indica que o processo tem uma boa capacidade, pois valores acima de 1,33 são geralmente considerados aceitáveis.
Para verificar se o processo está centrado, calculamos o Índice de Capacidade Centrado ( Cpk), que considera o deslocamento da média do processo em relação ao centro das especificações.
A fórmula do Cpk é:
Cpk = min(Limite Superior de Especificação - mu3 sigma / raizn, mu - Limite Inferior de Especificação3 sigma / raizn) çãçã
Como Cpk = 2,11 é menor que Cp = 2,22, isso indica que o processo não está perfeitamente centrado, mas ainda assim está bastante próximo do centro.

Passo 3

Parte b)
Agora, queremos saber qual a porcentagem da faixa de especificação está sendo utilizada pelo processo. Isso nos ajuda a entender quanto da capacidade do processo está realmente sendo utilizada pelas especificações.
A fórmula para a porcentagem utilizada é:
P = (6 sigma / raiznFaixa de Especificação) times 100% çã
Substituindo os valores:
P = (1840) times 100% = 45%
Isso significa que 45% da faixa de especificação está sendo utilizada pelo processo.

Passo 4

Parte c)
Queremos calcular a probabilidade de um alarme falso no processo, ou seja, a chance de um ponto cair fora dos limites de controle quando o processo está sob controle.
Como estamos usando um gráfico barX com limites de controle de 3sigma, a probabilidade de um alarme falso é a área das duas caudas da distribuição normal além de 3sigma.
A probabilidade de estar além de 3sigma em uma distribuição normal é aproximadamente 0,27%.
Como são duas caudas, dividimos por 2 para cada lado:
Probabilidade de alarme falso = 0,27% div 2 = 0,135%
Contudo, como estamos considerando ambas as extremidades (superior e inferior), somamos as duas probabilidades:
0,135% + 0,135% = 0,27%
Mas parece que a resposta esperada é 0,0027, que é a representação decimal de 0,27%. Portanto:
P = 0,0027

Passo 5

Parte d)
Agora, se a média do processo se desloca para 188, queremos saber a probabilidade de que esse deslocamento seja detectado na primeira amostra subsequente.
Primeiro, calculamos quantos desvios padrão o novo valor (188) está distante do limite de controle inferior (191).
Deslocamento = 191 - 188 = 3
O desvio padrão da média da amostra é:
sigmabarX = sigmaraizn = 62 = 3
Então, o desvio é de:
33 = 1 sigma
Usando a tabela da distribuição normal, a probabilidade de estar abaixo de 1sigma é aproximadamente 84,134%.
Portanto, a probabilidade de detectar o deslocamento na primeira amostra é:
P = 0,84134

Resposta

c)
A probabilidade de um alarme falso nesse processo é 0,0027.
d)
A probabilidade de que o deslocamento para 188 seja detectado na primeira amostra subsequente é 0,84134.

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