Uma máquina coloca rebites em furos. O diâmetro médio dos rebites é de 24 mm , com variância de
; o diâmetro médio dos furos é de
, com variância de
. Chamando de folga a diferença entre os diâmetros do furo e do rebite, calcular a probabilidade de encontrar-se rebites com diâmetro maior que do furo.
Passo 1
Então, aqui a gente tem um problema de estatística sobre variáveis aleatórias que seguem distribuição normal. O enunciado diz que o diâmetro do rebite, X, é Normal com média 24 mm e variância 0,2 mm², e o diâmetro do furo, Y, é Normal com média 24,6 mm e variância 0,3 mm². Queremos a probabilidade de o rebite ser maior que o furo, ou seja P(X>Y).
Conteúdo: distribuição normal, variáveis independentes, diferença de normais e padronização.
O que vamos precisar:
Conteúdo: distribuição normal, variáveis independentes, diferença de normais e padronização.
O que vamos precisar:
- Saber que, se X e Y são independentes e normais, então Z = X–Y também é normal.
- Calcular média e variância de Z.
- Padronizar Z para usar a tabela da Normal padrão.
Passo 2
Definindo Z = X – Y.
Como X∼N(μ_X,σ_X²) e Y∼N(μ_Y,σ_Y²) são independentes, então
Como X∼N(μ_X,σ_X²) e Y∼N(μ_Y,σ_Y²) são independentes, então
Aqui μ_X=24, σ_X²=0.2; μ_Y=24.6, σ_Y²=0.3.
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Passo 3
O evento X>Y equivale a Z>0. Então queremos
Para usar a Normal padrão, definimos
Calcule o valor de padronização:
Então
onde Φ é a função de distribuição acumulada da Normal padrão.
Passo 4
Buscando na tabela da Normal padrão ou numa calculadora, temos
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Resposta
A probabilidade de o diâmetro do rebite ser maior que o do furo é aproximadamente 0,1977 (ou 19,77%).