Uma máquina coloca rebites em furos. O diâmetro médio dos rebites é de 24 mm , com variância de 0,2 mm^2; o diâmetro médio dos furos é de 24,6 mm, com variância de 0,3 mm^2. Chamando de folga a diferença entre os diâmetros do furo e do rebite, calcular a probabilidade de encontrar-se rebites com diâmetro maior que do furo.

Passo 1

Então, aqui a gente tem um problema de estatística sobre variáveis aleatórias que seguem distribuição normal. O enunciado diz que o diâmetro do rebite, X, é Normal com média 24 mm e variância 0,2 mm², e o diâmetro do furo, Y, é Normal com média 24,6 mm e variância 0,3 mm². Queremos a probabilidade de o rebite ser maior que o furo, ou seja P(X>Y).
Conteúdo: distribuição normal, variáveis independentes, diferença de normais e padronização.
O que vamos precisar:
  1. Saber que, se X e Y são independentes e normais, então Z = X–Y também é normal.
  2. Calcular média e variância de Z.
  3. Padronizar Z para usar a tabela da Normal padrão.

Passo 2

Definindo Z = X – Y.
Como X∼N(μ_X,σ_X²) e Y∼N(μ_Y,σ_Y²) são independentes, então
Z sim Nl(muX - muY,;sigmaX^2 + sigmaY^2r)
Aqui μ_X=24, σ_X²=0.2; μ_Y=24.6, σ_Y²=0.3.
Logo
muZ = 24 - 24.6 = -0.6, sigmaZ^2 = 0.2 + 0.3 = 0.5, sigmaZ = raiz0.5approx0.7071

Passo 3

O evento X>Y equivale a Z>0. Então queremos
P(Z>0) =1 - P(Z<=0)
Para usar a Normal padrão, definimos
Zrm pad = Z - muZsigmaZ ;Longrightarrow; P(Z>0) = Pl(Zrm pad > 0 - (-0.6)0.7071r)
Calcule o valor de padronização:
0 - (-0.6)0.7071 =0.60.7071approx0.8485
Então
P(Z>0) = 1 - Phi(0.8485),
onde Φ é a função de distribuição acumulada da Normal padrão.

Passo 4

Buscando na tabela da Normal padrão ou numa calculadora, temos
Phi(0.8485)approx0.8023
Logo
P(Z>0) = 1 - 0.8023 = 0.1977

Resposta

A probabilidade de o diâmetro do rebite ser maior que o do furo é aproximadamente 0,1977 (ou 19,77%).

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