Resolvam as questōes a seguir, apresentando todos os argumentos.
Para cada ítem abaixo calcule a derivada da função dada.
f(x)=(2 x-1) cdot raiz[3]x^2+4 xraiz[5]x.

Passo 1

Analisando o enunciado: queremos calcular a derivada da função f(x)=(2x−1)·√[3]{x^2}+4x/√[5]{x}. O conteúdo aqui envolve regra do produto e derivação de potências (power rule).

Passo 2

Para simplificar a derivação, reescrevemos as raízes como potências:
A primeira parte √[3]{x2}=x{2/3} e a segunda 4x/√[5]{x}=4x·x{−1/5}=4x{1−1/5}=4x^{4/5}. Então
f(x)=(2x−1)x^2/3+4x^4/5

Passo 3

Agora derivamos o primeiro termo usando a regra do produto. Se u(x)=2x−1 e v(x)=x^{2/3}, então
u'(x)=2,
v'(x)=23x^−1/3
Pela regra do produto
ddx[(2x−1)x^2/3]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x^2/3+(2x−1)23x^−1/3

Passo 4

Derivando o segundo termo com a regra de potência: se w(x)=4x^{4/5}, então
w'(x)=4·45x^4/5−1=165x^−1/5

Passo 5

Juntando tudo, a derivada f’(x) fica
f'(x)=2x^2/3+(2x−1)23x^−1/3+165x^−1/5
Se quiser, dá para fatorar, mas esta é a forma final.

Resposta

f’(x)=2x{2/3}+\frac{2(2x−1)}{3}x{−1/3}+\frac{16}{5}x^{−1/5}

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