Em um mesmo gráfico, represente as funções que se pedem:
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{\operatorname { c o s }} \boldsymbol{x} e \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{\operatorname { s e c }} \boldsymbol{x}

Passo 1

O enunciado pede que, no mesmo gráfico, se representem as duas funções dadas:
  • f(x)=\cos x;
  • g(x)=\operatorname{sec} x.
Informações relevantes (tiradas do próprio enunciado):
  • As duas funções devem aparecer juntas no mesmo sistema de coordenadas.
  • Não foi dado intervalo explícito de x; portanto é útil escolher um intervalo padrão para visualizar comportamento periódico e assíntotas (por exemplo [-2\pi,2\pi]).
  • Nenhuma figura adicional foi fornecida.

Passo 2

Definições e relação importante entre as funções (aulas rápidas):
  • Definição: \cos x é a função cosseno, definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Definição: \operatorname{sec} x é a função secante, definida como o recíproco do cosseno:
\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}.
  • Isso significa que \operatorname{sec} x só existe quando \cos x\neq0. Portanto a existência de \operatorname{sec} depende dos zeros de \cos.

Passo 3

Domínio das duas funções (por que a secante não existe em alguns pontos):
  • Domínio de \cos x: \{x\in\mathbb{R}\} (toda a reta).
  • Zeros de \cos x: \cos x=0 quando x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, com k\in\mathbb{Z}.
  • Domínio de \operatorname{sec} x: \displaystyle \mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi : k\in\mathbb{Z}\right\} (ou seja, remover todos os pontos onde \cos x=0).

Passo 4

Periodicidade e simetria (o que facilita desenhar várias repetições):
  • Ambas são periódicas com período 2\pi: \cos(x+2\pi)=\cos x e \operatorname{sec}(x+2\pi)=\operatorname{sec} x.
  • Ambas são funções pares: \cos(-x)=\cos x e \operatorname{sec}(-x)=\operatorname{sec} x. Isso significa simetria em relação ao eixo y.

Passo 5

Intervalo de valores (range) de cada função:
  • Para \cos x: \displaystyle \cos x\in[-1,1].
  • Para \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}: quando \cos x está entre -1 e 1 (exceto 0), o recíproco tem magnitude \ge 1. Portanto
\operatorname{sec} x\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty).

Passo 6

Pontos de interseção entre as curvas (onde se cruzam):
  • Resolver \operatorname{sec} x=\cos x é o mesmo que \dfrac{1}{\cos x}=\cos x, desde que \cos x\neq0.
  • Multiplicando: \cos^2 x=1, portanto \cos x=\pm1.
  • Isso ocorre em x=k\pi, k\in\mathbb{Z}.
  • Nesses pontos os valores são \cos(k\pi)=(-1)^k e \operatorname{sec}(k\pi)=(-1)^k. Logo as duas curvas se cruzam em x=k\pi, com valores \pm1.

Passo 7

Assíntotas verticais da secante e comportamento próximo a elas:
  • Assíntotas verticais em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi (porque \cos x=0 aí).
  • Comportamento de \operatorname{sec} x próximo a uma assíntota:
    • Em intervalos onde \cos x>0 (por exemplo -\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2}) a secante é positiva e tende a +\infty quando \cos x\to0^+.
    • Em intervalos onde \cos x<0 (por exemplo \tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{3\pi}{2}) a secante é negativa e tende a -\infty quando \cos x\to0^-.
  • Conclusão prática: a cada assíntota haverá duas “ramificações” da curva \operatorname{sec} x que vão para \pm\infty e formam ramos em forma de “U” ou “∩” entre assíntotas sucessivas, dependendo do sinal de \cos naquele intervalo.

Passo 8

Pontos-chave para desenhar à mão (valores exatos úteis, sem calculadora):
  • Valores da cosseno em pontos usuais:
    • \cos 0=1 e \operatorname{sec} 0=1.
    • \cos\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \operatorname{sec}\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
    • \cos\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \operatorname{sec}\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}.
    • \cos\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}, \operatorname{sec}\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=2.
    • \cos\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0 (aí \operatorname{sec} é indefinida — assíntota).
    • \cos(\pi)=-1, \operatorname{sec}(\pi)=-1.
  • Use esses pontos para marcar a onda do \cos x e os pontos por onde os ramos de \operatorname{sec} x passam ( x=k\pi com valor \pm1).

Passo 9

Instrução passo a passo para desenhar o gráfico no mesmo sistema (faça isso na prova):
  1. Trace o eixo x e y. Marque os múltiplos importantes: -2\pi,-\tfrac{3\pi}{2},-\pi,-\tfrac{\pi}{2},0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi.
  2. Desenhe a curva y=\cos x: uma onda suave oscilando entre -1 e 1, com máximos em x=2k\pi e mínimos em x=(2k+1)\pi.
  3. Desenhe as assíntotas verticais tracejadas para y=\operatorname{sec} x em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi.
  4. Entre duas assíntotas consecutivas, esboce um ramo de \operatorname{sec} x:
    • Se \cos é positiva nesse intervalo, desenhe um ramo positivo que tem mínimo em x=2k\pi com valor 1 (parecido com um “U” aberto por cima).
    • Se \cos é negativa, desenhe um ramo negativo que tem máximo em x=(2k+1)\pi com valor -1 (parecido com um “∩” abaixo do eixo).
  5. Verifique que os ramos de \operatorname{sec} x passam pelos pontos x=k\pi onde coincidem com \cos x (valores \pm1).
  6. Repita o padrão para cobrir o intervalo escolhido (por exemplo [-2\pi,2\pi]). Lembre-se da periodicidade 2\pi.

Passo 10

Dicas rápidas para a prova (o que olhar primeiro ao pedir o gráfico):
  • Ache zeros de \cos x para localizar assíntotas de \operatorname{sec} x.
  • Ache onde \cos x=\pm1 para os cruzamentos entre \cos e \operatorname{sec}.
  • Marque simetria (pares) e período 2\pi para repetir o padrão.
  • Use pontos notáveis \{0,\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2},\pi\} para orientar a forma das curvas.

Resposta

  • Domínio de f(x)=\cos x: \displaystyle \mathbb{R}.
  • Domínio de g(x)=\operatorname{sec} x: \displaystyle \mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi : k\in\mathbb{Z}\right\}.
  • Assíntotas verticais de g: x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
  • Período de ambas: 2\pi. Simetria: ambas pares.
  • Intervalo de valores: \cos x\in[-1,1]; \operatorname{sec} x\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty).
  • Interseções: ambas se cruzam em x=k\pi, k\in\mathbb{Z}, com valores \cos(k\pi)=\operatorname{sec}(k\pi)=(-1)^k.
  • Instrução de desenho: traçar \cos x entre -1 e 1, marcar assíntotas de \operatorname{sec} em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi e esboçar ramos de \operatorname{sec} entre assíntotas (positivos onde \cos>0, negativos onde \cos<0), certificando-se dos cruzamentos em x=k\pi.

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