Em um mesmo gráfico, represente as funções que se pedem:
e
Passo 1
O enunciado pede que, no mesmo gráfico, se representem as duas funções dadas:
-
; -
.
Informações relevantes (tiradas do próprio enunciado):
- As duas funções devem aparecer juntas no mesmo sistema de coordenadas.
- Não foi dado intervalo explícito de
; portanto é útil escolher um intervalo padrão para visualizar comportamento periódico e assíntotas (por exemplo ). - Nenhuma figura adicional foi fornecida.
Passo 2
Definições e relação importante entre as funções (aulas rápidas):
- Definição:
é a função cosseno, definida para todo . - Definição:
é a função secante, definida como o recíproco do cosseno:
- Isso significa que
só existe quando . Portanto a existência de depende dos zeros de .
Passo 3
Domínio das duas funções (por que a secante não existe em alguns pontos):
- Domínio de
: (toda a reta). - Zeros de
: quando , com . - Domínio de
: (ou seja, remover todos os pontos onde ).
Passo 4
Periodicidade e simetria (o que facilita desenhar várias repetições):
- Ambas são periódicas com período
: e . - Ambas são funções pares:
e . Isso significa simetria em relação ao eixo .
Passo 5
Intervalo de valores (range) de cada função:
- Para
: . - Para
: quando está entre e (exceto ), o recíproco tem magnitude . Portanto
Passo 6
Pontos de interseção entre as curvas (onde se cruzam):
- Resolver
é o mesmo que , desde que . - Multiplicando:
, portanto . - Isso ocorre em
, . - Nesses pontos os valores são
e . Logo as duas curvas se cruzam em , com valores .
Passo 7
Assíntotas verticais da secante e comportamento próximo a elas:
- Assíntotas verticais em
(porque aí). - Comportamento de
próximo a uma assíntota: - Em intervalos onde
(por exemplo ) a secante é positiva e tende a quando . - Em intervalos onde
(por exemplo ) a secante é negativa e tende a quando .
- Em intervalos onde
- Conclusão prática: a cada assíntota haverá duas “ramificações” da curva
que vão para e formam ramos em forma de “U” ou “∩” entre assíntotas sucessivas, dependendo do sinal de naquele intervalo.
Passo 8
Pontos-chave para desenhar à mão (valores exatos úteis, sem calculadora):
- Valores da cosseno em pontos usuais:
-
e . -
, . -
, . -
, . -
(aí é indefinida — assíntota). -
, .
-
- Use esses pontos para marcar a onda do
e os pontos por onde os ramos de passam ( com valor ).
Passo 9
Instrução passo a passo para desenhar o gráfico no mesmo sistema (faça isso na prova):
- Trace o eixo
e . Marque os múltiplos importantes: . - Desenhe a curva
: uma onda suave oscilando entre e , com máximos em e mínimos em . - Desenhe as assíntotas verticais tracejadas para
em . - Entre duas assíntotas consecutivas, esboce um ramo de
: - Se
é positiva nesse intervalo, desenhe um ramo positivo que tem mínimo em com valor (parecido com um “U” aberto por cima). - Se
é negativa, desenhe um ramo negativo que tem máximo em com valor (parecido com um “∩” abaixo do eixo).
- Se
- Verifique que os ramos de
passam pelos pontos onde coincidem com (valores ). - Repita o padrão para cobrir o intervalo escolhido (por exemplo
). Lembre-se da periodicidade .
Passo 10
Dicas rápidas para a prova (o que olhar primeiro ao pedir o gráfico):
- Ache zeros de
para localizar assíntotas de . - Ache onde
para os cruzamentos entre e . - Marque simetria (pares) e período
para repetir o padrão. - Use pontos notáveis
para orientar a forma das curvas.
Resposta
- Domínio de
: . - Domínio de
: . - Assíntotas verticais de
: , . - Período de ambas:
. Simetria: ambas pares. - Intervalo de valores:
; . - Interseções: ambas se cruzam em
, , com valores . - Instrução de desenho: traçar
entre e , marcar assíntotas de em e esboçar ramos de entre assíntotas (positivos onde , negativos onde ), certificando-se dos cruzamentos em .