Encontre o valor máximo e o valor mínimo que \mathbf{y} pode ter em cada caso e esboce o gráfico.
y=\frac{\cos x}{3}-11

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{\cos x}{3}-11
e pede duas coisas:
  • encontrar o valor máximo que y pode assumir;
  • encontrar o valor mínimo que y pode assumir;
  • esboçar o gráfico (ou seja, indicar como é a forma da curva e pontos-chave para desenhá‑la).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • a função está escrita como uma cóseno escalada e transladada verticalmente: y=\dfrac{\cos x}{3}-11;
  • não há restrição no domínio, logo x varia em todos os números reais.

Passo 2

Entender o comportamento geral: considere a forma geral
y=a\cos x+b,
onde:
  • a é o coeficiente que escala (amplitude) a função cosseno;
  • b é a translação vertical (a linha central ou médio da onda).
Fatos importantes sobre \cos x:
  • \cos x varia sempre no intervalo [-1,1]. Isso significa que, para qualquer x,
-1\le \cos x\le 1.
  • A amplitude (meio do alcance) da função a\cos x+b é |a| e a linha média é y=b.
  • Portanto a imagem (conjunto de valores possíveis) de y=a\cos x+b é
[b-|a|,\; b+|a|].
Exemplo curto e concreto: se a=\dfrac{1}{2} e b=2, então y\in[2-\tfrac{1}{2},\,2+\tfrac{1}{2}]=[1{,}5,\,2{,}5].

Passo 3

Aplicando ao caso dado: comparar com y=a\cos x+b.
Aqui temos
a=\frac{1}{3},\qquad b=-11.
A amplitude é |a|=\dfrac{1}{3} e a linha média é y=b=-11. Logo a imagem de y é
\bigl[-11-\tfrac{1}{3},\;-11+\tfrac{1}{3}\bigr].
Transformando em frações únicas:
-11-\tfrac{1}{3}=-\tfrac{33}{3}-\tfrac{1}{3}=-\tfrac{34}{3},
-11+\tfrac{1}{3}=-\tfrac{33}{3}+\tfrac{1}{3}=-\tfrac{32}{3}.
Portanto, numericamente:
y_{\min}=-\tfrac{34}{3}\approx -11{,}333\ldots, \qquad y_{\max}=-\tfrac{32}{3}\approx -10{,}666\ldots.

Passo 4

Indicar onde esses extremos ocorrem (útil para o esboço):
  • O máximo ocorre quando \cos x=1. As soluções de \cos x=1 são
x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Para esses x temos y=\dfrac{1}{3}-11=-\dfrac{32}{3}.
  • O mínimo ocorre quando \cos x=-1. As soluções de \cos x=-1 são
x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Para esses x temos y=-\dfrac{1}{3}-11=-\dfrac{34}{3}.
Também é útil saber os pontos onde a função corta a linha média y=-11: isso acontece quando \cos x=0, ou seja em
x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Informações para esboçar o gráfico (passo a passo para desenhar à mão, sem calculadora):
  • período da função: como não há fator em x \cos x), o período é 2\pi;
  • linha média: desenhar a reta horizontal y=-11;
  • amplitude pequena: marcar acima da linha média a altura \dfrac{1}{3} e abaixo a mesma distância;
  • pontos-chave em um período típico [0,2\pi]:
    • x=0: máximo y=-\dfrac{32}{3};
    • x=\tfrac{\pi}{2}: cruza a linha média y=-11;
    • x=\pi: mínimo y=-\dfrac{34}{3};
    • x=\tfrac{3\pi}{2}: cruza novamente y=-11;
    • x=2\pi: volta ao máximo y=-\dfrac{32}{3}.
  • desenhe a forma típica de cosseno (começando no máximo em x=0, descendo até o mínimo em x=\pi, subindo de novo até x=2\pi), com a amplitude reduzida \tfrac{1}{3} e centrada em y=-11.
Dica motivadora: faça um esboço pequeno com a linha média em y=-11, marque os valores -\tfrac{32}{3} e -\tfrac{34}{3} para referência e ligue suavemente os pontos em forma de onda — fica rápido e fica certinho para a prova!

Resposta

Máximo: y_{\max}=-\dfrac{32}{3} em x=2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}
Mínimo: y_{\min}=-\dfrac{34}{3} em x=(2k+1)\pi,\;k\in\mathbb{Z}

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