Encontre o valor máximo e o valor mínimo que
pode ter em cada caso e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- encontrar o valor máximo que
pode assumir; - encontrar o valor mínimo que
pode assumir; - esboçar o gráfico (ou seja, indicar como é a forma da curva e pontos-chave para desenhá‑la).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- a função está escrita como uma cóseno escalada e transladada verticalmente:
; - não há restrição no domínio, logo
varia em todos os números reais.
Passo 2
Entender o comportamento geral: considere a forma geral
onde:
-
é o coeficiente que escala (amplitude) a função cosseno; -
é a translação vertical (a linha central ou médio da onda).
Fatos importantes sobre
:
-
varia sempre no intervalo . Isso significa que, para qualquer ,
- A amplitude (meio do alcance) da função
é e a linha média é . - Portanto a imagem (conjunto de valores possíveis) de
é
Exemplo curto e concreto: se
e
, então
.
Passo 3
Aplicando ao caso dado: comparar com
.
Aqui temos
Aqui temos
A amplitude é
e a linha média é
. Logo a imagem de
é
Transformando em frações únicas:
Portanto, numericamente:
Passo 4
Indicar onde esses extremos ocorrem (útil para o esboço):
- O máximo ocorre quando
. As soluções de são
Para esses
temos
.
- O mínimo ocorre quando
. As soluções de são
Para esses
temos
.
Também é útil saber os pontos onde a função corta a linha média
: isso acontece quando
, ou seja em
Passo 5
Informações para esboçar o gráfico (passo a passo para desenhar à mão, sem calculadora):
- período da função: como não há fator em
(é ), o período é ; - linha média: desenhar a reta horizontal
; - amplitude pequena: marcar acima da linha média a altura
e abaixo a mesma distância; - pontos-chave em um período típico
: -
: máximo ; -
: cruza a linha média ; -
: mínimo ; -
: cruza novamente ; -
: volta ao máximo .
-
- desenhe a forma típica de cosseno (começando no máximo em
, descendo até o mínimo em , subindo de novo até ), com a amplitude reduzida e centrada em .
Dica motivadora: faça um esboço pequeno com a linha média em
, marque os valores
e
para referência e ligue suavemente os pontos em forma de onda — fica rápido e fica certinho para a prova!
Resposta
Máximo:
em
Mínimo:
em