Encontre o valor máximo e o valor mínimo que \mathbf{y} pode ter em cada caso e esboce o gráfico.
y=6 \operatorname{sen} x-1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar o valor máximo que \mathbf{y} pode assumir e (2) encontrar o valor mínimo que \mathbf{y} pode assumir, para a função dada. A função fornecida é
y = 6\operatorname{sen} x - 1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão da função é \;y=6\operatorname{sen} x-1\;.
  • Não há restrição no domínio de x (assume-se x\in\mathbb{R}).
  • É pedido também um esboço do gráfico (ou seja, como desenhar a curva).

Passo 2

Primeiro, uma mini-aula sobre a função seno e transformações (sem pressa, passo a passo).
  • Propriedade básica do seno: \operatorname{sen} x varia entre -1 e 1. Em notação:
-1 \le \operatorname{sen} x \le 1 \quad\text{para todo } x\in\mathbb{R}.
Explicação curta: o seno é definido geometricamente no círculo unitário; seus valores máximos e mínimos são 1 e -1.
  • Efeito de multiplicar por uma constante (amplitude): se temos y = A\operatorname{sen} x com A>0, então o intervalo de y é
-A \le A\operatorname{sen} x \le A.
No nosso caso A=6, então
-6 \le 6\operatorname{sen} x \le 6.
  • Efeito de somar/subtrair uma constante (deslocamento vertical): se temos y = A\operatorname{sen} x + D, a adição de D desloca todo o intervalo por D. Ou seja, soma-se D aos extremos. No nosso caso D=-1.
Agora aplicando isso ao nosso problema.

Passo 3

Aplicando as transformações em sequência:
  • Começando de \operatorname{sen} x com -1\le\operatorname{sen} x\le1.
  • Multiplicando por 6
-6 \le 6\operatorname{sen} x \le 6.
  • Subtraindo 1 (ou seja, somando D=-1) desloca os extremos em -1, resultando em
-6-1 \le 6\operatorname{sen} x-1 \le 6-1,
ou seja
-7 \le y \le 5.
Conclusão imediata: o valor mínimo de y é -7 e o valor máximo de y é 5.

Passo 4

Agora identificar onde isso ocorre (útil para o esboço e para comprovar):
  • Máximo ocorre quando \operatorname{sen} x = 1. As soluções gerais de \operatorname{sen} x = 1 são
x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Substituindo em y:
y_{\max} = 6\cdot 1 - 1 = 5.
  • Mínimo ocorre quando \operatorname{sen} x = -1. As soluções gerais de \operatorname{sen} x = -1 são
x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Substituindo em y:
y_{\min} = 6\cdot(-1) - 1 = -7.

Passo 5

Pontos-chave para esboçar o gráfico (dica prática para prova — desenhe estes pontos e ligue suavemente):
  • A reta média (eixo central da onda) é y=-1 porque foi feita a translação vertical por -1. Marque essa linha horizontal.
  • Amplitude é 6. A partir da reta média y=-1, o máximo fica em y=-1+6=5 e o mínimo em y=-1-6=-7.
  • Período da função seno não mudou (multiplicador do argumento é 1), então o período é \;2\pi\;. Ou seja, a forma completa da onda se repete a cada 2\pi.
  • Valores úteis a plotar (um ciclo de 0 a 2\pi): \begin{aligned} x=0 &\Rightarrow y = 6\operatorname{sen} 0 -1 = -1,\\\ x=\frac{\pi}{2} &\Rightarrow y = 5\\ (\text{máximo}),\\\ x=\pi &\Rightarrow y = -1,\\\ x=\frac{3\pi}{2} &\Rightarrow y = -7\\ (\text{mínimo}),\\\ x=2\pi &\Rightarrow y = -1. \end{aligned}áí
  • Como desenhar: trace os eixos x e y; marque a reta média y=-1; marque os níveis y=5 e y=-7; coloque os pontos acima em x=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi com as alturas calculadas; ligue os pontos com uma curva suave em forma de seno (máximo arredondado em \tfrac{\pi}{2}, mínimo arredondado em \tfrac{3\pi}{2}). Repita o padrão para x positivos e negativos se quiser o esboço completo.

Passo 6

Verificação rápida (controle de erro): a amplitude e deslocamento dão extremos plausíveis e os pontos calculados para um período mostram a onda oscilando entre -7 e 5 com média -1 e período 2\pi. Tudo consistente.

Resposta

Máximo: y_{\max}=5 em x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}
Mínimo: y_{\min}=-7 em x=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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