Encontre o valor máximo e o valor mínimo que
pode ter em cada caso e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar o valor máximo que
pode assumir e (2) encontrar o valor mínimo que
pode assumir, para a função dada. A função fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão da função é
. - Não há restrição no domínio de
(assume-se ). - É pedido também um esboço do gráfico (ou seja, como desenhar a curva).
Passo 2
Primeiro, uma mini-aula sobre a função seno e transformações (sem pressa, passo a passo).
- Propriedade básica do seno:
varia entre e . Em notação:
Explicação curta: o seno é definido geometricamente no círculo unitário; seus valores máximos e mínimos são
e
.
- Efeito de multiplicar por uma constante (amplitude): se temos
com , então o intervalo de é
No nosso caso
, então
- Efeito de somar/subtrair uma constante (deslocamento vertical): se temos
, a adição de desloca todo o intervalo por . Ou seja, soma-se aos extremos. No nosso caso .
Agora aplicando isso ao nosso problema.
Passo 3
Aplicando as transformações em sequência:
- Começando de
com . - Multiplicando por
dá
- Subtraindo
(ou seja, somando ) desloca os extremos em , resultando em
ou seja
Conclusão imediata: o valor mínimo de
é
e o valor máximo de
é
.
Passo 4
Agora identificar onde isso ocorre (útil para o esboço e para comprovar):
- Máximo ocorre quando
. As soluções gerais de são
Substituindo em
:
- Mínimo ocorre quando
. As soluções gerais de são
Substituindo em
:
Passo 5
Pontos-chave para esboçar o gráfico (dica prática para prova — desenhe estes pontos e ligue suavemente):
- A reta média (eixo central da onda) é
porque foi feita a translação vertical por . Marque essa linha horizontal. - Amplitude é
. A partir da reta média , o máximo fica em e o mínimo em . - Período da função seno não mudou (multiplicador do argumento é
), então o período é . Ou seja, a forma completa da onda se repete a cada . - Valores úteis a plotar (um ciclo de
a ): - Como desenhar: trace os eixos
e ; marque a reta média ; marque os níveis e ; coloque os pontos acima em com as alturas calculadas; ligue os pontos com uma curva suave em forma de seno (máximo arredondado em , mínimo arredondado em ). Repita o padrão para positivos e negativos se quiser o esboço completo.
Passo 6
Verificação rápida (controle de erro): a amplitude e deslocamento dão extremos plausíveis e os pontos calculados para um período mostram a onda oscilando entre
e
com média
e período
. Tudo consistente.
Resposta
Máximo:
em
Mínimo: em
Mínimo: