Indique em que quadrante do círculo trigonométrico é representado cada número real dado:
Passo 1
O enunciado pede que eu indique em que quadrante do círculo trigonométrico está representado o número real
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O único dado é o ângulo (número real)
. - A pergunta é: em que quadrante do círculo trigonométrico esse ângulo se encontra?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar claramente quais são os intervalos de ângulos (em radianos) que definem os quadrantes — isto é, os limites que temos de comparar com o ângulo dado:
- Primeiro quadrante:
. - Segundo quadrante:
. - Terceiro quadrante:
. - Quarto quadrante:
.
Observação didática: ângulos exatamente iguais a
,
,
,
ou
ficam sobre os eixos (não em um quadrante). Para decidir o quadrante de um ângulo, basta verificar em qual desses quatro intervalos ele cai.
Passo 3
Agora vamos comparar
com os limites relevantes. O limite mais próximo para saber se está no primeiro quadrante é
. Compare:
Como
, podemos dividir ambos os lados por
(ou simplesmente comparar as frações numéricas):
Fazendo uma comparação simples por produto em cruz (ou transformando em denominador comum):
porque
e
, e
. Portanto
Também é claro que
(pois
e o numerador
é positivo). Assim obtivemos
Passo 4
Como
está estritamente entre
e
, concluímos que o ângulo pertence ao primeiro quadrante. Para intuição extra (opcional): convertendo para graus tem-se
que é menor que
, reforçando que está no primeiro quadrante.
Resposta
Primeiro quadrante.