Indique em que quadrante do círculo trigonométrico é representado cada número real dado:
\frac{2 \pi}{7}

Passo 1

O enunciado pede que eu indique em que quadrante do círculo trigonométrico está representado o número real \dfrac{2\pi}{7}.
Informações dadas:
  • O único dado é o ângulo (número real) \dfrac{2\pi}{7}.
  • A pergunta é: em que quadrante do círculo trigonométrico esse ângulo se encontra?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar claramente quais são os intervalos de ângulos (em radianos) que definem os quadrantes — isto é, os limites que temos de comparar com o ângulo dado:
  • Primeiro quadrante: 0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}.
  • Segundo quadrante: \dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi.
  • Terceiro quadrante: \pi < \theta < \dfrac{3\pi}{2}.
  • Quarto quadrante: \dfrac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi.
Observação didática: ângulos exatamente iguais a 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2} ou 2\pi ficam sobre os eixos (não em um quadrante). Para decidir o quadrante de um ângulo, basta verificar em qual desses quatro intervalos ele cai.

Passo 3

Agora vamos comparar \dfrac{2\pi}{7} com os limites relevantes. O limite mais próximo para saber se está no primeiro quadrante é \dfrac{\pi}{2}. Compare:
\dfrac{2\pi}{7}\quad\text{e}\quad\dfrac{\pi}{2}.
Como \pi>0, podemos dividir ambos os lados por \pi (ou simplesmente comparar as frações numéricas):
\dfrac{2}{7}\quad\text{e}\quad\dfrac{1}{2}.
Fazendo uma comparação simples por produto em cruz (ou transformando em denominador comum):
\dfrac{2}{7} < \dfrac{1}{2}
porque 2\cdot 2 = 4 e 7\cdot 1 = 7, e 4 < 7. Portanto
\dfrac{2\pi}{7} < \dfrac{\pi}{2}.
Também é claro que \dfrac{2\pi}{7} > 0 (pois \pi>0 e o numerador 2 é positivo). Assim obtivemos
0 < \dfrac{2\pi}{7} < \dfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Como \dfrac{2\pi}{7} está estritamente entre 0 e \dfrac{\pi}{2}, concluímos que o ângulo pertence ao primeiro quadrante. Para intuição extra (opcional): convertendo para graus tem-se
\dfrac{2\pi}{7} = \dfrac{360^\circ}{7} \approx 51,4286^\circ,
que é menor que 90^\circ, reforçando que está no primeiro quadrante.

Resposta

Primeiro quadrante.

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