Nos itens abaixo, decida se a função dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente, determine os valores de
para os quais a função é negativa, nula ou positiva, e esboce seu gráfico.
Passo 1
Nesse exercício temos a função linear
. O conteúdo envolve (i) monotonicidade de funções lineares, (ii) análise de sinal e (iii) esboço do gráfico. Para resolver vamos usar que o coeficiente angular determina se é crescente ou decrescente, resolver a equação
para encontrar a raiz e analisar o sinal em cada intervalo.
Passo 2
Funções lineares têm a forma
, onde
é o coeficiente angular. Se
a função é estritamente crescente e se
é estritamente decrescente. Aqui o coeficiente angular é
, que é negativo. Logo, a função
é estritamente decrescente em todo o domínio.
Passo 3
Para encontrar a raiz da função (onde ela se anula), resolvemos a equação
. Isolando
temos:
Isolando
:
Portanto,
em
.
Passo 4
Para analisar o sinal de
, escolhemos pontos em cada intervalo definido pela raiz:
- Se
, por exemplo , então , logo . - Se
, por exemplo , então , logo .
Assim,é positiva para e negativa para .
Passo 5
O esboço do gráfico de
é uma reta de coeficiente angular
e intercepto em
. Alguns pontos notáveis são:
- Intercepto em
: . - Raiz:
. - Outro ponto:
.
Traçando a reta que passa por esses pontos e indicando setas nas extremidades, obtemos o gráfico decrescente de.
Resposta
A função
é estritamente decrescente. Ela se anula em
, é positiva para
e negativa para
. O gráfico é uma reta com coeficiente angular
e intercepto em
, passando pelos pontos
,
e
.