Nos itens abaixo, decida se a função dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente, determine os valores de x para os quais a função é negativa, nula ou positiva, e esboce seu gráfico.
h(x)=-2 x+1

Passo 1

Nesse exercício temos a função linear h(x)= -2x + 1. O conteúdo envolve (i) monotonicidade de funções lineares, (ii) análise de sinal e (iii) esboço do gráfico. Para resolver vamos usar que o coeficiente angular determina se é crescente ou decrescente, resolver a equação h(x)=0 para encontrar a raiz e analisar o sinal em cada intervalo.

Passo 2

Funções lineares têm a forma ax + b, onde a é o coeficiente angular. Se a>0 a função é estritamente crescente e se a<0 é estritamente decrescente. Aqui o coeficiente angular é a=-2, que é negativo. Logo, a função h é estritamente decrescente em todo o domínio.

Passo 3

Para encontrar a raiz da função (onde ela se anula), resolvemos a equação -2x + 1 = 0. Isolando x temos:
-2x + 1 = 0
Isolando x:
-2x = -1
x = -1-2 = 12
Portanto, h(x)=0 em x=tfrac12.

Passo 4

Para analisar o sinal de h(x), escolhemos pontos em cada intervalo definido pela raiz:
  • Se x, por exemplo x=0, então h(0)=1>0, logo h(x)>0.
  • Se x>tfrac12, por exemplo x=1, então h(1)=-1<0, logo h(x)<0.
    Assim, h(x) é positiva para x e negativa para x>tfrac12.

Passo 5

O esboço do gráfico de h é uma reta de coeficiente angular -2 e intercepto em y=1. Alguns pontos notáveis são:
  • Intercepto em y: (0,1).
  • Raiz: (tfrac12,0).
  • Outro ponto: (1,-1).
    Traçando a reta que passa por esses pontos e indicando setas nas extremidades, obtemos o gráfico decrescente de h(x)=-2x+1.

Resposta

A função h(x)=-2x+1 é estritamente decrescente. Ela se anula em x=tfrac12, é positiva para x e negativa para x>tfrac12. O gráfico é uma reta com coeficiente angular -2 e intercepto em y=1, passando pelos pontos (0,1), (tfrac12,0) e (1,-1).

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