Gráficos matemáticos são excelentes ferramentas para análise de duas ou mais variáveis. Ajudam a visualizar e analisar os resultados para tomadas de futuras decisões. Uma indústria contratou um Matemático para fazer essas análises gráficas. Nessa indústria são produzidos e comercializados dois tipos de determinado produto, A e B. A quantidade e o valor de venda desses produtos se relacionam pelas seguintes funções quadráticas:
f_{A}(x)=x^{2}-4 x+5 e \quad f_{B}(x)=-x^{2}+4 x+5
Com o seguinte destaque:
x : é a quantidade produzida
f(x) : é o valor de venda.
Esse Matemático, então, criou uma região delimitada por essas funções e a denominou de receita total. Quantas coordenadas de números inteiros existem nessa região?
a) 18 .
b) 17 .
c) 16 .
d) 15 .

Passo 1

O enunciado dá duas funções quadráticas que relacionam quantidade produzida x e valor de venda f(x):
f_{A}(x)=x^{2}-4x+5
f_{B}(x)=-x^{2}+4x+5
  • x é a quantidade produzida (variável no eixo x).
  • f(x) é o valor de venda (variável no eixo y).
    A pergunta é: quantas coordenadas de números inteiros existem na região delimitada por essas duas curvas? Ou seja, quantos pontos com coordenadas inteiras (x,y) estão contidos na região limitada pelas duas parábolas.

Passo 2

Primeiro precisamos descobrir onde as parábolas se encontram, para saber o intervalo de x que delimita a região. Igualamos as duas funções:
x^{2}-4x+5 = -x^{2}+4x+5.
Resolvendo:
x^{2}-4x+5 + x^{2}-4x-5 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2}-8x=0,
2x(x-4)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \text{ ou } x=4.
Logo, as curvas se intersectam em x=0 e x=4; a região está entre esses dois valores de x.

Passo 3

Vamos ver qual parábola fica acima da outra no intervalo [0,4]. Basta avaliar em um ponto interior, por exemplo x=2:
f_A(2)=2^{2}-4\cdot2+5=4-8+5=1,
f_B(2)=-2^{2}+4\cdot2+5=-4+8+5=9.
Como f_B(2)=9>1=f_A(2), concluímos que, para 0\le x\le 4, a curva f_B está acima e f_A abaixo. Portanto a região delimitada é
\{(x,y)\mid 0\le x\le 4,\; f_A(x)\le y\le f_B(x)\}.

Passo 4

Queremos pontos com coordenadas inteiras. Note que, se x deve ser inteiro dentro do intervalo [0,4], as possibilidades são
x\in\{0,1,2,3,4\}.
Para cada um desses x inteiros, vamos contar quantos inteiros y satisfazem f_A(x)\le y\le f_B(x) — e depois decidiremos se devemos contar pontos na fronteira (valores onde y=f_A(x) ou y=f_B(x)) ou somente os estritamente internos.

Passo 5

Calcular f_A(x) e f_B(x) para cada x inteiro de 0 a 4:
  • Para x=0:
    f_A(0)=0-0+5=5,\qquad f_B(0)=0+0+5=5.
    Aqui as duas curvas coincidem em y=5.
  • Para x=1:
    f_A(1)=1-4+5=2,\qquad f_B(1)=-1+4+5=8.
    Então y pode ser qualquer inteiro de 2 a 8 inclusive.
  • Para x=2:
    f_A(2)=4-8+5=1,\qquad f_B(2)=-4+8+5=9.
    Então y pode ser qualquer inteiro de 1 a 9 inclusive.
  • Para x=3:
    f_A(3)=9-12+5=2,\qquad f_B(3)=-9+12+5=8.
    Então y pode ser qualquer inteiro de 2 a 8 inclusive.
  • Para x=4:
    f_A(4)=16-16+5=5,\qquad f_B(4)=-16+16+5=5.
    Novamente as duas curvas coincidem em y=5.

Passo 6

Agora vamos contar pontos inteiros. Primeiro conta inclusiva (contando pontos na fronteira):
  • Para x=0: valores inteiros y entre 5 e 5 1 ponto.
  • Para x=1: y=2,3,4,5,6,7,8 7 pontos.
  • Para x=2: y=1,2,\dots,9 9 pontos.
  • Para x=3: y=2,3,4,5,6,7,8 7 pontos.
  • Para x=4: y=5 1 ponto.
Soma inclusiva: 1+7+9+7+1=25 pontos inteiros se contarmos a fronteira.
Mas a expressão “região delimitada por essas funções” costuma referir-se à região interior limitada pelas curvas (pontos estritamente dentro, não contando a própria fronteira). Para obter os pontos inteiros estritamente internos (ou seja, com f_A(x)<y<f_B(x)) removemos os pontos das curvas. Observação importante: para cada x inteiro acima, tanto f_A(x) quanto f_B(x) são números inteiros; portanto, em cada coluna x onde f_A(x)<f_B(x) há exatamente duas pontos inteiros de fronteira (um em y=f_A(x) e outro em y=f_B(x)) que devemos excluir; quando f_A(x)=f_B(x) (em x=0 e x=4) não há pontos internos nessa coluna.
Removendo as fronteiras:
  • x=0: coluna sem pontos internos → 0.
  • x=1: 7-2=5 pontos internos.
  • x=2: 9-2=7 pontos internos.
  • x=3: 7-2=5 pontos internos.
  • x=4: coluna sem pontos internos → 0.
Somando os pontos estritamente internos: 5+7+5=17.

Resposta

Exercícios relacionados