Gráficos matemáticos são excelentes ferramentas para análise de duas ou mais variáveis. Ajudam a visualizar e analisar os resultados para tomadas de futuras decisões. Uma indústria contratou um Matemático para fazer essas análises gráficas. Nessa indústria são produzidos e comercializados dois tipos de determinado produto, A e B. A quantidade e o valor de venda desses produtos se relacionam pelas seguintes funções quadráticas:
Com o seguinte destaque:
: é a quantidade produzida
: é o valor de venda.
Esse Matemático, então, criou uma região delimitada por essas funções e a denominou de receita total. Quantas coordenadas de números inteiros existem nessa região?
a) 18 .
b) 17 .
c) 16 .
d) 15 .
Esse Matemático, então, criou uma região delimitada por essas funções e a denominou de receita total. Quantas coordenadas de números inteiros existem nessa região?
a) 18 .
b) 17 .
c) 16 .
d) 15 .
Passo 1
O enunciado dá duas funções quadráticas que relacionam quantidade produzida
e valor de venda
:
-
é a quantidade produzida (variável no eixo ). -
é o valor de venda (variável no eixo ).
A pergunta é: quantas coordenadas de números inteiros existem na região delimitada por essas duas curvas? Ou seja, quantos pontos com coordenadas inteirasestão contidos na região limitada pelas duas parábolas.
Passo 2
Primeiro precisamos descobrir onde as parábolas se encontram, para saber o intervalo de
que delimita a região. Igualamos as duas funções:
Resolvendo:
Logo, as curvas se intersectam em
e
; a região está entre esses dois valores de
.
Passo 3
Vamos ver qual parábola fica acima da outra no intervalo
. Basta avaliar em um ponto interior, por exemplo
:
Como
, concluímos que, para
, a curva
está acima e
abaixo. Portanto a região delimitada é
Passo 4
Queremos pontos com coordenadas inteiras. Note que, se
deve ser inteiro dentro do intervalo
, as possibilidades são
Para cada um desses
inteiros, vamos contar quantos inteiros
satisfazem
— e depois decidiremos se devemos contar pontos na fronteira (valores onde
ou
) ou somente os estritamente internos.
Passo 5
Calcular
e
para cada
inteiro de
a
:
-
Para
: Aqui as duas curvas coincidem em. -
Para
: Entãopode ser qualquer inteiro de a inclusive. -
Para
: Entãopode ser qualquer inteiro de a inclusive. -
Para
: Entãopode ser qualquer inteiro de a inclusive. -
Para
: Novamente as duas curvas coincidem em.
Passo 6
Agora vamos contar pontos inteiros. Primeiro conta inclusiva (contando pontos na fronteira):
- Para
: valores inteiros entre e → ponto. - Para
: → pontos. - Para
: → pontos. - Para
: → pontos. - Para
: → ponto.
Soma inclusiva:
pontos inteiros se contarmos a fronteira.
Mas a expressão “região delimitada por essas funções” costuma referir-se à região interior limitada pelas curvas (pontos estritamente dentro, não contando a própria fronteira). Para obter os pontos inteiros estritamente internos (ou seja, com
) removemos os pontos das curvas. Observação importante: para cada
inteiro acima, tanto
quanto
são números inteiros; portanto, em cada coluna
onde
há exatamente duas pontos inteiros de fronteira (um em
e outro em
) que devemos excluir; quando
(em
e
) não há pontos internos nessa coluna.
Removendo as fronteiras:
-
: coluna sem pontos internos → . -
: pontos internos. -
: pontos internos. -
: pontos internos. -
: coluna sem pontos internos → .
Somando os pontos estritamente internos:
.