Grafique:
f(x)=xraiz(x-1)(x+2)

Passo 1

A questão pede para fazer o gráfico da função f(x)=xraiz(x-1)(x+2). Isso envolve análise de domínio, assíntotas, comportamento da função e eventual extrema.

Passo 2

Para determinar o domínio, note que o radicando (x-1)(x+2) precisa ser positivo e o denominador não pode ser zero. Logo, (x-1)(x+2)>0 implica x<-2 ou x>1. Portanto o domínio é x:,x<-2cupx:,x>1.
Não há interceptos com os eixos, pois para f(x)=0 precisaríamos de x=0, mas 0 não pertence ao domínio. Tampouco há valor de y quando x=0.

Passo 3

As assíntotas verticais ocorrem em x=-2 e x=1. Para as horizontais, ao analisar xto+infty temos f(x)approx x/|x|to1 e para xto-infty temos f(x)approx x/|x|to-1. Logo as horizontais são y=1 e y=-1.

Passo 4

Estudando o limite junto às verticais: quando xto1^+, o denominador tende a zero positivo e o numerador tende a +1, então f(x)to+infty. Quando xto -2^-, o numerador tende a -2 e o denominador a zero positivo, logo f(x)to-infty.

Passo 5

Para ver a monotonicidade, calcule a derivada: definindo g(x)=( (x-1)(x+2) )^-1/2, obtemos
f'(x)=l((x-1)(x+2)r)^-3/2l(tfrac12x-2r)
O sinal de tfrac12x-2 zera em x=4. Como o fator com potência é sempre positivo no domínio, concluímos:
  • Em x<-2: tfrac12x-2<0, então f'<0 e a função é decrescente.
  • Em 1: f'<0, função decrescente.
  • Em x>4: f'>0, função crescente.

Passo 6

Há um mínimo local em x=4. O valor é
f(4)=4raiz(4-1)(4+2)=4raiz18=2raiz23approx0,943

Passo 7

Juntando tudo, o gráfico tem duas ramificações desconectadas:
  • Para x<-2: ramo negativo, decrescente de yto-1 (quando xto-infty) até -infty (quando xto-2^-).
  • Para x>1: ramo positivo, decrescente de +infty ( xto1^+) até mínimo em (4,2raiz2/3), depois crescente até se aproximar de y=1 ( xto+infty).

Resposta

O gráfico exibirá duas curvas desconectadas. Em x<-2 há um ramo negativo, decrescente de y=-1 (em xto-infty) a -infty (em xto-2^-). Em x>1 há um ramo positivo, decrescente de +infty (em xto1^+) até o mínimo f(4)=2raiz2/3, depois crescente, aproximando-se de y=1 (em xto+infty). As assíntotas verticais são x=-2,1 e as horizontais y=-1,1.

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