Grafique:
Passo 1
A questão pede para fazer o gráfico da função
. Isso envolve análise de domínio, assíntotas, comportamento da função e eventual extrema.
Passo 2
Para determinar o domínio, note que o radicando
precisa ser positivo e o denominador não pode ser zero. Logo,
implica
ou
. Portanto o domínio é
.
Não há interceptos com os eixos, pois para precisaríamos de
, mas
não pertence ao domínio. Tampouco há valor de
quando
.
Não há interceptos com os eixos, pois para
Passo 3
As assíntotas verticais ocorrem em
e
. Para as horizontais, ao analisar
temos
e para
temos
. Logo as horizontais são
e
.
Passo 4
Estudando o limite junto às verticais: quando
, o denominador tende a zero positivo e o numerador tende a
, então
. Quando
, o numerador tende a
e o denominador a zero positivo, logo
.
Passo 5
Para ver a monotonicidade, calcule a derivada: definindo
, obtemos
O sinal de
zera em
. Como o fator com potência é sempre positivo no domínio, concluímos:
- Em
: , então e a função é decrescente. - Em
: , função decrescente. - Em
: , função crescente.
Passo 6
Há um mínimo local em
. O valor é
Passo 7
Juntando tudo, o gráfico tem duas ramificações desconectadas:
- Para
: ramo negativo, decrescente de (quando ) até (quando ). - Para
: ramo positivo, decrescente de ( ) até mínimo em , depois crescente até se aproximar de ( ).
Resposta
O gráfico exibirá duas curvas desconectadas. Em
há um ramo negativo, decrescente de
(em
) a
(em
). Em
há um ramo positivo, decrescente de
(em
) até o mínimo
, depois crescente, aproximando-se de
(em
). As assíntotas verticais são
e as horizontais
.