Seja
Encontre os valores de f(x)=llA x+B, & x<1 2 x^2-2, & x >= 1 e A para que a função seja contínua e derivável em B.

Passo 1

O enunciado define a função por partes e pede que ela seja contínua e derivável em x=1, ou seja, vamos usar as condições de continuidade (igualar os limites laterais em 1) e de derivabilidade (igualar as derivadas laterais em 1).

Passo 2

Para garantir continuidade em x=1, igualamos o limite à esquerda f(1^-) = A·1 + B com o valor em 1 f(1^+) = 2·1^2 − 2 = 0. Assim obtemos
A + B = 0

Passo 3

Para garantir derivabilidade em x=1, igualamos a derivada à esquerda f’(1^-) = A com a derivada à direita f’(1^+) = tfracddx(2x^2-2)|x=1 = 4. Logo
A = 4
Substituindo em A + B = 0, vem 4 + B = 0 e então B = -4.

Resposta

A = 4 e B = -4

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