Seja
Encontre os valores de e para que a função seja contínua e derivável em .
Passo 1
O enunciado define a função por partes e pede que ela seja contínua e derivável em x=1, ou seja, vamos usar as condições de continuidade (igualar os limites laterais em 1) e de derivabilidade (igualar as derivadas laterais em 1).
Passo 2
Para garantir continuidade em x=1, igualamos o limite à esquerda f(1^-) = A·1 + B com o valor em 1 f(1^+) = 2·1^2 − 2 = 0. Assim obtemos
Passo 3
Para garantir derivabilidade em x=1, igualamos a derivada à esquerda f’(1^-) = A com a derivada à direita f’(1^+) = . Logo
A = 4
Substituindo em A + B = 0, vem 4 + B = 0 e então B = -4.