Um grama de uma cultura de bactérias está presente no instante t=0, e 10 gramas é o peso máximo que a cultura pode atingir. O tempo necessário para que o peso da cultura cheque a y gramas é dado pela equação k cdot t=integral 1y cdot(10-y) cdot dy, onde y é o peso da cultura em gramas e t é o tempo em horas. Mostre que o peso da cultura no instante t é dado por y(t)=101+9 cdot e^-10 cdot k cdot t, use o fato de que y=1 para t=0.

Passo 1

Temos uma cultura bacteriana que segue um modelo logístico: no instante inicial t=0 o peso é y=1 g, e o peso máximo é 10 g. A relação dada é k·t = ∫ dy/[y·(10−y)], então vamos usar separação de variáveis e integração para obter y em função de t.

Passo 2

Para calcular ∫ 1/[y·(10−y)] dy fazemos frações parciais: escrevemos
1y(10-y)=Ay+B10-y
Multiplicando em cruz: A(10−y)+B y=1 implica A=B e 10A=1, logo A=B=1/10. Assim
integraldyy(10-y)=110integrall(1y+110-yr)dy = 110l(ln|y| - ln|10-y|r)+C

Passo 3

Substituindo na equação original temos
k,t = 110lny10-y + C
Multiplicando por 10 e isolando o logaritmo:
10k,t = lny10-y + C',
o que dá
y10-y = A e^10k t,
com A = e^{C’}. Resolvendo para y:
y = (10-y)A e^10k t implies y(1 + A e^10k t) = 10 A e^10k t implies y = 10 A e^10k t1 + A e^10k t

Passo 4

Usando a condição inicial y(0)=1: substituindo t=0 temos 1 = 10A/(1+A) ⇒ 1+A=10A ⇒ A=1/9. Logo
y(t) = 10,(1/9)e^10k t1+(1/9)e^10k t = 10 e^10k t9 + e^10k t
Multiplicando numerador e denominador por e^{-10k t} chega-se à forma final.

Resposta

y(t)=\frac{10}{1+9 e^{-10 k t}}

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