Um grama de uma cultura de bactérias está presente no instante
, e 10 gramas é o peso máximo que a cultura pode atingir. O tempo necessário para que o peso da cultura cheque a y gramas é dado pela equação
, onde y é o peso da cultura em gramas e t é o tempo em horas. Mostre que o peso da cultura no instante
é dado por
, use o fato de que
para
.
Passo 1
Temos uma cultura bacteriana que segue um modelo logístico: no instante inicial t=0 o peso é y=1 g, e o peso máximo é 10 g. A relação dada é k·t = ∫ dy/[y·(10−y)], então vamos usar separação de variáveis e integração para obter y em função de t.
Passo 2
Para calcular ∫ 1/[y·(10−y)] dy fazemos frações parciais: escrevemos
Multiplicando em cruz: A(10−y)+B y=1 implica A=B e 10A=1, logo A=B=1/10. Assim
Passo 3
Substituindo na equação original temos
Multiplicando por 10 e isolando o logaritmo:
o que dá
com A = e^{C’}. Resolvendo para y:
Passo 4
Usando a condição inicial y(0)=1: substituindo t=0 temos 1 = 10A/(1+A) ⇒ 1+A=10A ⇒ A=1/9. Logo
Multiplicando numerador e denominador por e^{-10k t} chega-se à forma final.
Resposta
y(t)=\frac{10}{1+9 e^{-10 k t}}