Uma granada é lançada com velocidade inicial de v0=300 m / s, formando um ângulo de theta=60^circ com a horizontal. No ponto mais alto da trajectória, a granada explode e se fragmenta em 100 pedaços de massas iguais. Imediatamente após a explosão, 99 desses fragmentos espalham-se para trás com velocidades iguais e horizontais de 20 m / s, em relação ao centro de massa da granada. Sabendo que o terreno é plano e que a resistência do ar é desprezível, determine a que distância a partir do ponto de lançamento que cairá o centésimo fragmento.

Passo 1

O enunciado diz que uma granada de massa total M é lançada com velocidade inicial v0=300,m/s e ângulo theta=60^circ. No ponto mais alto da trajetória ela explode em 100 fragmentos de massa igual m=M100. Imediatamente após a explosão, 99 fragmentos têm velocidade horizontal de 20,m/s para trás em relação ao centro de massa (CM). Queremos a que distância, a partir do ponto de lançamento, cairá o 100º fragmento.
Conteúdos necessários:
1) Cinemática de projétil (altura máxima e tempos de subida/queda).
2) Conservação do momento linear horizontal na explosão.

Passo 2

Velocidade do CM no ponto mais alto da trajetória:
vx,CM=v0costheta =300cos60^circ=300times12=150 m/s,
vy,CM=0 m/s

Passo 3

Aplicando conservação do momento linear horizontal na explosão:
Antes da explosão,
Pantes=M,vx,CM =100mcdot150
Depois, 99 fragmentos (massa m cada) têm velocidade absoluta
v99=vx,CM-20=150-20=130 m/s
Se v100 é a velocidade horizontal do último fragmento,
99mcdot130 + m,v100 =100mcdot150 Longrightarrow v100=100cdot150-99cdot130=2130 m/s

Passo 4

Altura máxima da granada (ponto de explosão):
h=(v0sintheta)^22g =l(300sin60^circr)^22cdot9,8 =6750019,6approx3444 m
Tempo de subida até a explosão:
tsubida=v0sinthetag =300sin60^circ9,8approx26,52 s
Tempo de queda do fragmento (queda livre desde a altura h):
tqueda=raiz2hg =raiz2cdot34449,8 approx26,52 s,
que coincide numericamente com tsubida.

Passo 5

Distâncias horizontais percorridas:
– Até a explosão:
d1 = vx,CMcdot tsubida =150cdot26,52approx3978 m
– Após a explosão, o 100º fragmento percorre:
d2 = v100cdot tqueda =2130cdot26,52approx56480 m
Distância total desde o lançamento:
d = d1 + d2 approx3978 + 56480 = 60458 m

Resposta

Aproximadamente 6,05times10^4 metros.

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