Uma granada é lançada com velocidade inicial
segundo um ângulo de
. Na parte mais alta da trajetória ela explode, dividindo-se em dois fragmentos de mesma massa, um dos quais move-se verticalmente para baixo com velocidade inicial
. Qual a direção e velocidade do outro fragmento após a explosão?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma granada que é lançada com uma velocidade inicial
em um ângulo de
. No ponto mais alto da trajetória, ela explode, se dividindo em dois fragmentos de mesma massa. Um desses fragmentos começa a descer verticalmente com uma velocidade de
. Nosso objetivo é descobrir para qual direção e com que velocidade o outro fragmento se move após a explosão.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de leis de Newton e, mais especificamente, a conservação da quantidade de movimento. Precisaremos entender como a quantidade de movimento se comporta antes e depois da explosão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a estado da granada no ponto mais alto da trajetória. Nesse ponto, a velocidade vertical da granada é zero porque ela para de subir e começa a descer. Porém, a velocidade horizontal continua a mesma durante todo o movimento, já que não há aceleração horizontal (considerando que não há resistência do ar).
A velocidade horizontal inicial da granada é:
No ponto mais alto, a velocidade vertical
, então a velocidade total da granada nesse instante é apenas horizontal:
Passo 3
Quando a granada explode, ela se divide em dois fragmentos de mesma massa. Vamos chamar a massa de cada fragmento de
. A quantidade de movimento total antes da explosão é igual à quantidade de movimento total após a explosão, segundo a lei da conservação do momento.
Antes da explosão, a quantidade de movimento da granada é:
Passo 4
Após a explosão, temos dois fragmentos. Sabemos que um fragmento se move verticalmente para baixo com velocidade
. Vamos chamar esse fragmento de Fragmento 1 e o outro de Fragmento 2.
A quantidade de movimento do Fragmento 1 é:
Precisamos encontrar a quantidade de movimento do Fragmento 2,
, de modo que a soma das quantidades de movimento dos dois fragmentos seja igual à quantidade de movimento total antes da explosão.
Passo 5
Aplicando a conservação da quantidade de movimento:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a velocidade do Fragmento 2. Sabemos que
, então:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 7
Agora que temos as componentes da velocidade do Fragmento 2, podemos encontrar sua magnitude e direção.
A magnitude da velocidade é:
A direção pode ser encontrada pelo ângulo
com a horizontal:
Logo,
Resposta
O outro fragmento se move na direção de
em relação à horizontal com uma velocidade de
.