Uma granada é lançada com velocidade inicial v0 segundo um ângulo de 45^circ. Na parte mais alta da trajetória ela explode, dividindo-se em dois fragmentos de mesma massa, um dos quais move-se verticalmente para baixo com velocidade inicial raiz2 v0. Qual a direção e velocidade do outro fragmento após a explosão?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma granada que é lançada com uma velocidade inicial v0 em um ângulo de 45^circ. No ponto mais alto da trajetória, ela explode, se dividindo em dois fragmentos de mesma massa. Um desses fragmentos começa a descer verticalmente com uma velocidade de raiz2 v0. Nosso objetivo é descobrir para qual direção e com que velocidade o outro fragmento se move após a explosão.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de leis de Newton e, mais especificamente, a conservação da quantidade de movimento. Precisaremos entender como a quantidade de movimento se comporta antes e depois da explosão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a estado da granada no ponto mais alto da trajetória. Nesse ponto, a velocidade vertical da granada é zero porque ela para de subir e começa a descer. Porém, a velocidade horizontal continua a mesma durante todo o movimento, já que não há aceleração horizontal (considerando que não há resistência do ar).
A velocidade horizontal inicial da granada é:
v0x = v0 cos(45^circ) = v0raiz2
No ponto mais alto, a velocidade vertical v0y = 0, então a velocidade total da granada nesse instante é apenas horizontal:
v = ( v0raiz2, 0 )

Passo 3

Quando a granada explode, ela se divide em dois fragmentos de mesma massa. Vamos chamar a massa de cada fragmento de m. A quantidade de movimento total antes da explosão é igual à quantidade de movimento total após a explosão, segundo a lei da conservação do momento.
Antes da explosão, a quantidade de movimento da granada é:
ptotal = mtotal v = 2m ( v0raiz2, 0 ) = ( 2m v0raiz2, 0 )

Passo 4

Após a explosão, temos dois fragmentos. Sabemos que um fragmento se move verticalmente para baixo com velocidade raiz2 v0. Vamos chamar esse fragmento de Fragmento 1 e o outro de Fragmento 2.
A quantidade de movimento do Fragmento 1 é:
p1 = m ( 0, -raiz2 v0 )
Precisamos encontrar a quantidade de movimento do Fragmento 2, p2, de modo que a soma das quantidades de movimento dos dois fragmentos seja igual à quantidade de movimento total antes da explosão.

Passo 5

Aplicando a conservação da quantidade de movimento:
ptotal = p1 + p2
( 2m v0raiz2, 0 ) = m ( 0, -raiz2 v0 ) + p2
Resolvendo para p2:
p2 = ( 2m v0raiz2, 0 ) - m ( 0, -raiz2 v0 )
p2 = ( 2m v0raiz2, raiz2 m v0 )

Passo 6

Agora, vamos encontrar a velocidade do Fragmento 2. Sabemos que p2 = m v2, então:
m v2 = ( 2m v0raiz2, raiz2 m v0 )
Dividindo ambos os lados por m:
v2 = ( 2 v0raiz2, raiz2 v0 )
Simplificando:
v2 = ( raiz2 v0, raiz2 v0 )

Passo 7

Agora que temos as componentes da velocidade do Fragmento 2, podemos encontrar sua magnitude e direção.
A magnitude da velocidade é:
|v2| = raiz (raiz2 v0)^2 + (raiz2 v0)^2 = raiz2 v0^2 + 2 v0^2 = raiz4 v0^2 = 2 v0
A direção pode ser encontrada pelo ângulo theta com a horizontal:
tan(theta) = raiz2 v0raiz2 v0 = 1
Logo,
theta = 45^circ

Resposta

O outro fragmento se move na direção de 45^circ em relação à horizontal com uma velocidade de 2 v0.

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