Um sistema é constituído de três partículas, cada uma de massa unitária, com posições e velocidades instantâneas dadas por
Calcule a energia cinética.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de energia cinética envolvendo um sistema com três partículas, cada uma com massa igual a 1 unidade. As posições e velocidades dessas partículas são dadas pelas seguintes fórmulas:
Nosso objetivo é calcular a energia cinética total desse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é energia cinética. Ela representa a energia que um objeto possui devido ao seu movimento e é calculada pela fórmula:
Onde:
- $ E_c $ é a energia cinética,
- $ m $ é a massa do objeto,
- $ v $ é a velocidade do objeto.
Como cada partícula tem massa unitária ($ m = 1 $), a fórmula fica mais simples:
Passo 3
Vamos calcular a energia cinética de cada partícula individualmente. Para isso, precisamos determinar o módulo (ou seja, a velocidade escalar) de cada vetor velocidade.
As velocidades são dadas por:
- $ \overrightarrow{\mathrm{v}}_{1} = -\vec{\imath} $
- $ \overrightarrow{\mathrm{v}}_{2} = 2 \vec{\jmath} $
- $ \overrightarrow{\mathrm{v}}_{3} = \vec{\imath} + \vec{\jmath} + \overrightarrow{\mathrm{k}} $
Passo 4
Vamos encontrar o módulo de cada velocidade:
-
Para $ \overrightarrow{\mathrm{v}}_{1} $:
-
Para $ \overrightarrow{\mathrm{v}}_{2} $:
-
Para $ \overrightarrow{\mathrm{v}}_{3} $:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da energia cinética para cada partícula:
-
Energia cinética da partícula 1:
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Energia cinética da partícula 2:
-
Energia cinética da partícula 3:
Resposta
A energia cinética total do sistema é a soma das energias cinéticas individuais: