Um sistema é constituído de três partículas, cada uma de massa unitária, com posições e velocidades instantâneas dadas por
Calcule o momentum angular do sistema em relação à origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sistema com três partículas, cada uma com massa igual a 1 unidade. A gente tem as posições e as velocidades dessas partículas em relação à origem. Nosso objetivo aqui é calcular o momento angular total desse sistema em relação à origem. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente o cálculo do momento angular através do produto vetorial entre a posição e o momento linear de cada partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o momento angular (
) de uma única partícula. A fórmula é:
Onde:
-
é o vetor posição da partícula. -
é o momento linear da partícula, que é dado por .
Como todas as massas (
) são iguais a 1, podemos simplificar para:
Passo 3
Vamos calcular o momento angular de cada partícula individualmente usando a fórmula acima.
Para a partícula 1:
Vamos resolver esse produto vetorial:
Sabendo que
e usando as regras do produto vetorial:
Passo 4
Para a partícula 2:
Distribuindo o 2:
Sabendo que
e
:
Passo 5
Para a partícula 3:
Resolvendo o produto vetorial:
Sabendo que:
Então:
Passo 6
Agora, vamos somar os momentos angulares de todas as partículas para encontrar o momento angular total do sistema:
Substituindo os valores encontrados:
Agora, vamos somar os vetores semelhantes:
Resposta
O momento angular total do sistema em relação à origem é: