Um sistema é constituído de três partículas, cada uma de massa unitária, com posições e velocidades instantâneas dadas por
ll r1=imath+jmath+k & v1=-imath r2=imath+k & v2=2 jmath r3=k & v3=imath+jmath+k
Calcule o momentum angular do sistema em relação à origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sistema com três partículas, cada uma com massa igual a 1 unidade. A gente tem as posições e as velocidades dessas partículas em relação à origem. Nosso objetivo aqui é calcular o momento angular total desse sistema em relação à origem. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente o cálculo do momento angular através do produto vetorial entre a posição e o momento linear de cada partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o momento angular ( L) de uma única partícula. A fórmula é:
L = r times p
Onde:
  • r é o vetor posição da partícula.
  • p é o momento linear da partícula, que é dado por p = m v.
Como todas as massas ( m) são iguais a 1, podemos simplificar para:
L = r times v

Passo 3

Vamos calcular o momento angular de cada partícula individualmente usando a fórmula acima.
Para a partícula 1:
r1 = imath + jmath + k
v1 = -imath
L1 = r1 times v1 = (imath + jmath + k) times (-imath)
Vamos resolver esse produto vetorial:
L1 = imath times (-imath) + jmath times (-imath) + k times (-imath)
Sabendo que a times a = 0 e usando as regras do produto vetorial:
L1 = 0 - k + jmath = jmath - k

Passo 4

Para a partícula 2:
r2 = imath + k
v2 = 2jmath
L2 = r2 times v2 = (imath + k) times 2jmath
Distribuindo o 2:
L2 = 2(imath times jmath + k times jmath)
Sabendo que imath times jmath = k e k times jmath = -imath:
L2 = 2(k - imath) = -2imath + 2k

Passo 5

Para a partícula 3:
r3 = k
v3 = imath + jmath + k
L3 = r3 times v3 = k times (imath + jmath + k)
Resolvendo o produto vetorial:
L3 = k times imath + k times jmath + k times k
Sabendo que:
k times imath = jmath, k times jmath = -imath, k times k = 0
Então:
L3 = jmath - imath

Passo 6

Agora, vamos somar os momentos angulares de todas as partículas para encontrar o momento angular total do sistema:
Ltotal = L1 + L2 + L3
Substituindo os valores encontrados:
Ltotal = (jmath - k) + (-2imath + 2k) + (jmath - imath)
Agora, vamos somar os vetores semelhantes:
Ltotal = (-2imath - imath) + (jmath + jmath) + (-k + 2k)
Ltotal = -3imath + 2jmath + k

Resposta

O momento angular total do sistema em relação à origem é:
Ltotal = -3,imath + 2,jmath + k

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