Uma partícula de massa igual a oito vezes a massa de um elétron realiza uma transição do número quântico
para
um poço de potencial infinito de largura
. Calcule o comprimento de onda da luz emitida nesta transição. Resposta:
.
Passo 1
Então, temos uma partícula que pesa oito vezes a massa de um elétron e está dentro de um poço de potencial infinito com largura de 1 nanômetro. Essa partícula faz uma transição do nível quântico $ n=2 $ para $ n=1 $, e precisamos descobrir qual é o comprimento de onda da luz que ela emite durante essa transição. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre níveis de energia em poços de potencial e como a energia liberada está relacionada ao comprimento de onda da luz emitida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um poço de potencial infinito, os níveis de energia são quantizados e dados pela fórmula:
Aqui, $ E_n $ é a energia no nível quântico $ n $, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, e $ L $ é a largura do poço de potencial.
Passo 3
Precisamos calcular a diferença de energia entre os níveis $ n=2 $ e $ n=1 $. Essa diferença de energia vai ser a energia da luz emitida na transição. Vamos chamar essa diferença de $ \Delta E $:
Passo 4
Agora que temos a diferença de energia, podemos relacioná-la ao comprimento de onda da luz emitida usando a equação de energia da luz:
Onde $ h $ é a constante de Planck, $ c $ é a velocidade da luz, e $ \lambda $ é o comprimento de onda que queremos encontrar.
Passo 5
Vamos igualar as duas expressões para $ \Delta E $:
Agora, isolamos $ \lambda $:
Passo 6
Precisamos substituir os valores numéricos na equação:
- $ h = 6,626 \times 10^{-34} , J·s $
- $ c = 3,00 \times 10^{8} , m/s $
- $ m = 8 \times 9,109 \times 10^{-31} , kg $ (massa do elétron)
- $ L = 1 \times 10^{-9} , m $
- $ \hbar = \frac{h}{2\pi} = 1,055 \times 10^{-34} , J·s $
Passo 7
Substituindo os valores:
Passo 8
Calculando os termos numéricos:
Resposta
O comprimento de onda da luz emitida na transição é $ 8,8 , \mu\mathrm{m} $.