Uma partícula de massa igual a oito vezes a massa de um elétron realiza uma transição do número quântico n=2 para n=1 em um poço de potencial infinito de largura L=1 nm. Calcule o comprimento de onda da luz emitida nesta transição. Resposta: 8,8 mu m.

Passo 1

Então, temos uma partícula que pesa oito vezes a massa de um elétron e está dentro de um poço de potencial infinito com largura de 1 nanômetro. Essa partícula faz uma transição do nível quântico $ n=2 $ para $ n=1 $, e precisamos descobrir qual é o comprimento de onda da luz que ela emite durante essa transição. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre níveis de energia em poços de potencial e como a energia liberada está relacionada ao comprimento de onda da luz emitida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um poço de potencial infinito, os níveis de energia são quantizados e dados pela fórmula:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
Aqui, $ E_n $ é a energia no nível quântico $ n $, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, e $ L $ é a largura do poço de potencial.

Passo 3

Precisamos calcular a diferença de energia entre os níveis $ n=2 $ e $ n=1 $. Essa diferença de energia vai ser a energia da luz emitida na transição. Vamos chamar essa diferença de $ \Delta E $:
n=2

Passo 4

Agora que temos a diferença de energia, podemos relacioná-la ao comprimento de onda da luz emitida usando a equação de energia da luz:
De
Onde $ h $ é a constante de Planck, $ c $ é a velocidade da luz, e $ \lambda $ é o comprimento de onda que queremos encontrar.

Passo 5

Vamos igualar as duas expressões para $ \Delta E $:
De
Agora, isolamos $ \lambda $:
3 pi^2 hbar^22 m L^2 = hclambda

Passo 6

Precisamos substituir os valores numéricos na equação:
  • $ h = 6,626 \times 10^{-34} , J·s $
  • $ c = 3,00 \times 10^{8} , m/s $
  • $ m = 8 \times 9,109 \times 10^{-31} , kg $ (massa do elétron)
  • $ L = 1 \times 10^{-9} , m $
  • $ \hbar = \frac{h}{2\pi} = 1,055 \times 10^{-34} , J·s $

Passo 7

Substituindo os valores:
lambda = 2 times 6,626 times 10^-34 times 3,00 times 10^8 times 8 times 9,109 times 10^-31 times (1 times 10^-9)^23 times pi^2 times (1,055 times 10^-34)^2

Passo 8

Calculando os termos numéricos:
lambda approx 8,8 times 10^-6 , m = 8,8 , mum

Resposta

O comprimento de onda da luz emitida na transição é $ 8,8 , \mu\mathrm{m} $.

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