Uma granada de massa m0 é lançada com uma velocidade v0 formando um ângulo theta0 com a horizontal (considere o eixo x na direção horizontal e o eixo y na direção vertical). Na parte mais alta da tragetória, ela explode dividindo-se em dois fragmentos de mesma massa. O primeiro fragmento recua com velocidade . Calcule:
(a) A distância relativa entre os dois fragmentos após atingir o solo.
(b) O momentum angular do segundo fragmento em relação à origem logo após a explosão.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado está pedindo e quais tópicos usamos.
– Enunciado resumido: uma granada de massa é lançada obliquamente ( e ângulo ) e, bem no topo da trajetória, ela explode em dois pedaços de mesma massa ( ). Um fragmento sai pra trás com velocidade .
– O que precisamos achar:
(a) Depois de ambos caírem, qual a distância entre eles no solo?
(b) Logo após a explosão, qual é o momento angular do segundo fragmento em relação à origem?
– Matéria envolvida:
  1. Cinemática do movimento vertical (queda livre).
  2. Conservação de quantidade de movimento (pós-explosão).
  3. Definição de momento angular .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade do segundo fragmento vec p2 = m0,v0costheta0,hat x - l(-tfracm02v0costheta0,hat xr) = tfrac3m02,v0costheta0,hat x logo após a explosão usando conservação de momento linear na direção vec v2 = vec p2m0/2 = tfrac3m02,v0costheta0m0/2,hat x = 3,v0costheta0,hat x .
  1. No ponto mais alto, a velocidade total da granada era só horizontal:
    .
  2. Momento total antes da explosão:
    .
  3. Depois da explosão temos:
    .
    .
    – Logo – Assim a velocidade do pedaço 2 é

Passo 3

Agora a gente vê o “pulo” dos dois fragmentos até o solo. Eles começam do mesmo ponto: topo da parábola, com altura
H = (v0sintheta0)^22g
Como a componente vertical da velocidade é zero no topo, eles caem em queda livre com
H = tfrac12,g,t^2 Longrightarrow t = raiz2Hg = v0sintheta0g
Cada um tem velocidade horizontal constante. Então o deslocamento horizontal desde a explosão até o chão:
– Primeiro fragmento:
De
– Segundo fragmento:
De
A distância entre eles no solo é
|De

Passo 4

Pra achar o momento angular L2,z = xrm topo,p2y - yrm topo,p2x = -,H;3m02v0costheta0, do fragmento 2 logo depois da explosão, usamos
vec L2 = -,3,m0,v0costheta02 ,v0^2sin^2theta02g;hat k = -,3,m0,v0^3sin^2theta0costheta04g;hat k .
No instante da explosão:
– Posição do ponto mais alto (origem em ):

e .
– Vetor .
com .
Logo, só sobra
porque . Substituindo , dá

Resposta

(a) A distância entre os fragmentos no solo é
boxed2,v0^2sin2theta0g
(b) O momento angular do segundo fragmento logo após a explosão vale
boxedvec L2 = -,3,m0,v0^3,sin^2theta0,costheta04g;hat k

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