Uma granada de massa
é lançada com uma velocidade
formando um ângulo
com a horizontal (considere o eixo
na direção horizontal e o eixo
na direção vertical). Na parte mais alta da trajetória ela explode, se partindo em dois fragmentos de massa
e
. Sabendo que primeiro fragmento (de massa
) cai a partir do repuoso após a explosão, calcule:
(a) A velocidade linear do segundo fragmento em função do tempo.
(b) O momentum angular do segundo fragmento em relação à origem, imediatamente após a explosão.
(a) A velocidade linear do segundo fragmento em função do tempo.
(b) O momentum angular do segundo fragmento em relação à origem, imediatamente após a explosão.
Passo 1
Beleza, bora entender o que tá rolando. A granada de massa
é arremessada formando um ângulo
com a horizontal, com velocidade inicial
. No ponto mais alto da trajetória (onde a componente vertical da velocidade vira zero) ela explode em dois pedaços:
-
que fica parado na hora da explosão, -
que sai voando.
Conteúdo: cinemática de projétil (para descrever o movimento sob gravidade) e conservação do momento linear no instante da explosão, além de momento angular
. Vamos usar:
• No topo, ,
.
• Conservação do momento linear: .
• Depois da explosão, cada fragmento é só um projétil: constante,
.
• Momento angular: .
• No topo,
• Conservação do momento linear:
• Depois da explosão, cada fragmento é só um projétil:
• Momento angular:
Passo 2
Conservação do momento no instante da explosão
Antes da explosão, a granada toda tem momento
Antes da explosão, a granada toda tem momento
Depois,
deve ser igual. Como
fica parado (
), sobra
Repara que aqui também garantimos que a componente vertical inicial de
seja zero (porque a soma dos momentos verticais era zero).
Passo 3
Velocidade do fragmento
como função do tempo
Depois da explosão, é só um projétil:
Depois da explosão,
- No eixo
não tem força, então - No eixo
tem gravidade para baixo, logo
Juntando em vetor:
Passo 4
Momento angular de
logo após a explosão
Definição: , com
. No instante da explosão:
Definição:
- A posição da granada é
, onde - O momento linear de
é
.
Ao fazer o produto vetorial, só sobrevive o termo da componente
de
cruzada com
:
Agora substitui tudo:
Os
e
se cancelam, sobrando
Resposta
(a)
(b)
(b)