Uma granada de massa m0 é lançada com uma velocidade v0 formando um ângulo theta0 com a horizontal (considere o eixo x na direção horizontal e o eixo y na direção vertical). Na parte mais alta da trajetória ela explode, se partindo em dois fragmentos de massa m1=(1 / 4) m0 e m2=(3 / 4) m0. Sabendo que primeiro fragmento (de massa m1 ) cai a partir do repuoso após a explosão, calcule:
(a) A velocidade linear do segundo fragmento em função do tempo.
(b) O momentum angular do segundo fragmento em relação à origem, imediatamente após a explosão.

Passo 1

Beleza, bora entender o que tá rolando. A granada de massa é arremessada formando um ângulo com a horizontal, com velocidade inicial . No ponto mais alto da trajetória (onde a componente vertical da velocidade vira zero) ela explode em dois pedaços:
  • que fica parado na hora da explosão,
  • que sai voando.
Conteúdo: cinemática de projétil (para descrever o movimento sob gravidade) e conservação do momento linear no instante da explosão, além de momento angular . Vamos usar:
• No topo, , .
• Conservação do momento linear: .
• Depois da explosão, cada fragmento é só um projétil: constante, .
• Momento angular: .

Passo 2

Conservação do momento no instante da explosão
Antes da explosão, a granada toda tem momento
vec prm antes = m0,vec vrm CM = m0l(v0costheta0,hatimath + 0,hatjmathr)
Depois, m2,vec v2 = m0,(v0costheta0,hatimath) Longrightarrow vec v2(0) = m0m2,v0costheta0,hatimath = m0(3/4)m0,v0costheta0,hatimath = 43,v0costheta0,hatimath deve ser igual. Como fica parado ( ), sobra
Repara que aqui também garantimos que a componente vertical inicial de seja zero (porque a soma dos momentos verticais era zero).

Passo 3

Velocidade do fragmento v2x(t)=v2x(0)=tfrac43,v0costheta0 como função do tempo
Depois da explosão, v2y(t)=v2y(0)-g,t =0 - g,t = -,g,t é só um projétil:
  • No eixo boxedvec v2(t) = l(tfrac43v0costheta0r),hatimath ;-; g,t;hatjmath não tem força, então
  • No eixo tem gravidade para baixo, logo
Juntando em vetor:

Passo 4

Momento angular de H=v0^2sin^2theta02g e xrm topo=v0costheta0;v0sintheta0g =v0^2sintheta0costheta0g logo após a explosão
Definição: vec L = l(xrm topo,hatimath + H,hatjmathr) times l(m2,v2x(0),hatimathr) = m2,v2x(0),H;l(hatjmathtimeshatimathr) = -,m2,v2x(0),H;hat k , com m2=tfrac34,m0, v2x(0)=tfrac43v0costheta0, H=v0^2sin^2theta02g . No instante da explosão:
  • A posição da granada é boxedvec L = -,m0,v0^3costheta0,sin^2theta02g;hat k , onde
  • O momento linear de é
    .
Ao fazer o produto vetorial, só sobrevive o termo da componente de cruzada com :
Agora substitui tudo:
Os e se cancelam, sobrando

Resposta

(a)
(b)

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