Uma grande cavidade com um orifício muito pequeno mantida a uma temperatura T constitui uma boa aproximação de um corpo negro ideal. A radiação só pode entrar ou sair da cavidade através do orifício. A cavidade é um absorvedor perfeito, uma vez que a radiação que incide sobre o orifício fica presa no interior da cavidade. Uma cavidade desse tipo está a 200^circ C e a área do orifício é igual a 4,0 mm^2. Qual é o tempo necessário para que essa cavidade irradie 100 J de energia através do orifício?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma cavidade que age como um corpo negro, ou seja, ela emite radiação térmica eficientemente. A cavidade está a uma temperatura de 200^circ C e tem um orifício bem pequeno de área 4,0 mm^2. A pergunta é: quanto tempo demora pra essa cavidade emitir 100 J de energia através desse orifício? Para resolver isso, vamos usar conceitos de radiação térmica, especificamente a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência irradiada com a temperatura e a área.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter a temperatura de Celsius para Kelvin, porque as fórmulas de física geralmente usam a escala Kelvin. A fórmula para converter é:
T(K) = T(°C) + 273,15
Então, para 200^circ C:
T = 200 + 273,15 = 473,15 , K

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que diz que a potência irradiada por um corpo negro é dada por:
P = sigma cdot A cdot T^4
Onde:
  • sigma é a constante de Stefan-Boltzmann ( 5,67 times 10^-8 , W,m^-2,K^-4)
  • A é a área da superfície que está emitindo radiação
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin

Passo 4

Precisamos ter certeza de que a área A está em metros quadrados. Temos 4,0 mm^2, então:
A = 4,0 , mm^2 = 4,0 times 10^-6 , m^2

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da potência:
P = 5,67 times 10^-8 cdot 4,0 times 10^-6 cdot (473,15)^4
Vamos calcular passo a passo.
Primeiro, calculamos T^4:
473,15^4 approx 5,000 times 10^9 , K^4
(Valor aproximado para facilitar o cálculo)
Então,
P approx 5,67 times 10^-8 cdot 4,0 times 10^-6 cdot 5,000 times 10^9 P approx 5,67 times 4,0 times 5,000 times 10^-8 -6 +9 P approx 113,4 times 10^-5 , W P approx 1,134 times 10^-3 , W

Passo 6

Agora que temos a potência irradiada, podemos usar a relação entre energia, potência e tempo:
E = P cdot t t = EP
Queremos encontrar o tempo t para irradiar 100 J:
t = 1001,134 times 10^-3 t approx 88.185 , segundos

Resposta

O tempo necessário para que a cavidade irradie 100 J de energia através do orifício é aproximadamente 88 , segundos.

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