15 Two processes are used to produce forgings used in an aircraft wing assembly. Of 200 forgings selected from process one, 30 do not conform to the strength specifications, while of 300 forgings selected from process two, 40 are nonconforming. Estimate the fraction nonconforming for each process. Construct a
confidence interval on the difference in fraction nonconforming between the two processes.
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos.
- Perguntas: estimar a fração não conforme de cada processo e construir um intervalo de confiança de
para a diferença entre as frações dos dois processos. - Dados fornecidos: do processo 1 foram amostradas
peças, das quais são não conformes; do processo 2 foram amostradas peças, das quais são não conformes. - Resumo numérico (tirado diretamente do enunciado):
, , , .
Passo 2
Estimar as frações não conformes (estimadores de proporção).
A estimativa pontual da fração não conforme em cada processo é a proporção amostral . Assim:
A estimativa pontual da fração não conforme em cada processo é a proporção amostral
Explicação rápida:
é a fração observada de não conformes no processo 1;
faz o mesmo para o processo 2. Essas são as melhores estimativas pontuais que temos a partir das amostras.
Passo 3
Verificar a validade da aproximação normal para proporções (condições para usar IC via z).
Condição usual: e
para cada amostra. Aqui:
Condição usual:
Portanto a aproximação normal pelo teorema do limite central é razoável e podemos usar a fórmula do intervalo de confiança com o quantil
.
Passo 4
Fórmula do erro padrão (desvio-padrão da diferença das proporções) e explicação das variáveis.
Para duas amostras independentes, o erro padrão (EP) da diferença é
Para duas amostras independentes, o erro padrão (EP) da diferença
onde
e
são as proporções amostrais e
os tamanhos das amostras. A raiz soma as variâncias aproximadas das proporções, já que as amostras são independentes.
Passo 5
Calcular numericamente o erro padrão passo a passo.
Primeiro calculo os termos dentro da raiz:
Primeiro calculo os termos dentro da raiz:
Somando:
Agora a raiz:
Interpretação: o desvio-padrão aproximado da diferença amostral
é cerca de
, isto é, a incerteza típica na diferença é cerca de
pontos percentuais.
Passo 6
Escolher o quantil
para
de confiança e explicar.
Para um intervalo de confiança de usamos o quantil
(porque
e
). O valor tabelado é aproximadamente
Para um intervalo de confiança de
Esse número significa que a área central de uma normal padrão entre
e
é
.
Passo 7
Calcular a margem de erro e o intervalo de confiança.
A margem de erro é
A margem de erro é
A diferença amostral é
Portanto o intervalo de confiança de
para
é
Calculando os extremos:
Interpretação em palavras: com
de confiança, a verdadeira diferença de frações não conformes
está entre aproximadamente
e
. Como o intervalo contém zero, não há evidência forte de que uma taxa seja diferente da outra ao nível de
.
Resposta
Processo 1:
Processo 2:
Intervalo de para
:
Processo 2:
Intervalo de