15 Two processes are used to produce forgings used in an aircraft wing assembly. Of 200 forgings selected from process one, 30 do not conform to the strength specifications, while of 300 forgings selected from process two, 40 are nonconforming. Estimate the fraction nonconforming for each process. Construct a 90 \% confidence interval on the difference in fraction nonconforming between the two processes.

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Perguntas: estimar a fração não conforme de cada processo e construir um intervalo de confiança de 90\% para a diferença entre as frações dos dois processos.
  • Dados fornecidos: do processo 1 foram amostradas 200 peças, das quais 30 são não conformes; do processo 2 foram amostradas 300 peças, das quais 40 são não conformes.
  • Resumo numérico (tirado diretamente do enunciado): n_1=200, x_1=30, n_2=300, x_2=40.

Passo 2

Estimar as frações não conformes (estimadores de proporção).
A estimativa pontual da fração não conforme em cada processo é a proporção amostral \hat p = x/n. Assim:
\hat p_1=\frac{x_1}{n_1}=\frac{30}{200}=0,15
\hat p_2=\frac{x_2}{n_2}=\frac{40}{300}\approx 0,1333
Explicação rápida: \hat p_1 é a fração observada de não conformes no processo 1; \hat p_2 faz o mesmo para o processo 2. Essas são as melhores estimativas pontuais que temos a partir das amostras.

Passo 3

Verificar a validade da aproximação normal para proporções (condições para usar IC via z).
Condição usual: n\hat p\ge 5 e n(1-\hat p)\ge 5 para cada amostra. Aqui:
n_1\hat p_1 = 200\cdot 0,15 = 30\ge 5,\quad n_1(1-\hat p_1)=200\cdot 0,85=170\ge5
n_2\hat p_2 = 300\cdot 0,1333\approx 40\ge5,\quad n_2(1-\hat p_2)=300\cdot 0,8667\approx 260\ge5
Portanto a aproximação normal pelo teorema do limite central é razoável e podemos usar a fórmula do intervalo de confiança com o quantil z.

Passo 4

Fórmula do erro padrão (desvio-padrão da diferença das proporções) e explicação das variáveis.
Para duas amostras independentes, o erro padrão (EP) da diferença \hat p_1-\hat p_2 é
\text{EP}=\sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}},
onde \hat p_1 e \hat p_2 são as proporções amostrais e n_1,n_2 os tamanhos das amostras. A raiz soma as variâncias aproximadas das proporções, já que as amostras são independentes.

Passo 5

Calcular numericamente o erro padrão passo a passo.
Primeiro calculo os termos dentro da raiz:
\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}=\frac{0,15\cdot 0,85}{200}=\frac{0,1275}{200}=0,0006375
\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}=\frac{0,1333\cdot 0,8667}{300}\approx\frac{0,1155556}{300}\approx 0,0003851852
Somando:
0,0006375+0,0003851852\approx 0,0010226852
Agora a raiz:
\text{EP}=\sqrt{0,0010226852}\approx 0,03197
Interpretação: o desvio-padrão aproximado da diferença amostral \hat p_1-\hat p_2 é cerca de 0,03197, isto é, a incerteza típica na diferença é cerca de 3,2 pontos percentuais.

Passo 6

Escolher o quantil z para 90\% de confiança e explicar.
Para um intervalo de confiança de 90\% usamos o quantil z_{0,95} (porque \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05). O valor tabelado é aproximadamente
z_{0,95}\approx 1,645.
Esse número significa que a área central de uma normal padrão entre -1,645 e +1,645 é 90\%.

Passo 7

Calcular a margem de erro e o intervalo de confiança.
A margem de erro é
\text{ME}=z_{0,95}\cdot\text{EP}=1,645\cdot 0,03197\approx 0,05260.
A diferença amostral é
\hat p_1-\hat p_2 = 0,15-0,1333\approx 0,0167.
Portanto o intervalo de confiança de 90\% para p_1-p_2 é
(\hat p_1-\hat p_2)\pm \text{ME}\approx 0,0167\pm 0,0526.
Calculando os extremos:
\text{Limite inferior}\approx 0,0167-0,0526\approx -0,0359,
\text{Limite superior}\approx 0,0167+0,0526\approx 0,0693.
Interpretação em palavras: com 90\% de confiança, a verdadeira diferença de frações não conformes p_1-p_2 está entre aproximadamente -0,0359 e 0,0693. Como o intervalo contém zero, não há evidência forte de que uma taxa seja diferente da outra ao nível de 90\%.

Resposta

Processo 1: \hat p_1=0,15
Processo 2: \hat p_2\approx 0,1333
Intervalo de 90\% para \,p_1-p_2: (-0,0359,\;0,0693)

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