Um grande refletor parabólico, que tem um raio de abertura circular de 0.50 m , é usado para focalizar sons. Se a energia for liberada do foco para o ouvido de um detetive. através de um tubo de diâmetro 1.0 cm com 12% de eficiência, a que distância uma conversa sussurrada poderá ser ouvida de modo claro? (Considere o nível de som de uma conversa sussurrada como sendo de 20 dB a 1,0 m da fonte, considerada pontual, e o mínimo para escuta como 0 dB .)

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que a questão pede. Temos um refletor parabólico de som com raio de abertura de 0,50 m que capta as ondas sonoras de uma conversa sussurrada (20 dB a 1 m de uma fonte pontual). A energia captada é levada por um tubo de diâmetro 1,0 cm com eficiência de 12 %. Queremos achar a que distância máxima ® esse sussurro, depois de focalizado e transmitido, ainda seja ouvido com nível mínimo de 0 dB.
Conteúdo: nível de intensidade sonora (decibéis), lei do inverso do quadrado, área coletora e eficiência de transmissão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é nível de intensidade sonora em decibéis (dB). Por definição:
beta = 10 log10!l(tfracII0r)
Aqui, I(1,m) = I0 times 10^beta/10 = I0 times 10^20/10 = 100,I0 é o nível em dB, é a intensidade sonora e é a intensidade de referência (limiar de audição). Se a gente tem 20 dB a 1 m, inverte a fórmula e acha que

Passo 3

Depois, a gente aplica a lei do inverso do quadrado para ver como I(r) = I(1,m) times l(tfrac1,mrr)^2 = 100,I0r^2 cai com a distância da fonte pontual:

Passo 4

Agora entra o refletor parabólico. Ele tem área coletora
A = pi R^2 = pi,(0,50,m)^2 = 0,25pi;m^2
Ele capta uma potência sonora Prm tubo = 0,12 times I(r),A . Só que o tubo leva essa potência com 12 % de eficiência, ou seja

Passo 5

Esse tubo tem seção transversal
Srm tubo = pi,(d/2)^2 = pi,(0,010,m/2)^2 = 25times 10^-6,pi;m^2
A intensidade que chega no ouvido é
Irm ouvido = Prm tuboSrm tubo = 0,12,I(r),ASrm tubo
Para ouvir no limiar de 0 dB, a gente quer 0,12,I(r),ASrm tubo = I0 . Então

Passo 6

Substituindo 0,12,l(100/r^2r),ASrm tubo = 1 ;;Longrightarrow;; 100cdot0,12,Ar^2,Srm tubo = 1 ;;Longrightarrow;; r^2 = 100cdot0,12,ASrm tubo na equação acima e cancelando A = 0,25pi, Srm tubo=25times10^-6pi ;Longrightarrow; ASrm tubo = 0,25pi25times10^-6pi = 10,000 :
r^2 = 100times0,12times10,000 = 120,000 Longrightarrow r = raiz120,000approx 346,4;m
Calculemos a razão :
Logo,

Resposta

A conversa sussurrada poderá ser ouvida claramente a cerca de 3,5×10^2 m do refletor.

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